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房山区 2022 年高考第一次模拟测试试卷
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在等题卷上作答无效.考试结束后，
将答屋卡交回，试卷自行保存.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的
一项.
1. 已知集合A={－2，－1，0，1，2}， ，则 （ ）
A. {－2，－1，0，1，2} B. {－1，0，1}
C. {－2，2} D. {0，1}
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，B，由此能求出 .
【详解】因为集合A={－2，－1，0，1，2}， ，所以
{－1，0，1}.
故选：B.
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，－1），则 （ ）
A. 5 B. 3 C. 5－4i D. 3－4i
【答案】A
【解析】
【分析】直接写出复数 ，再按照复数的乘法运算即可求得结果.
【详解】由题意知， ， .
故选：A.
3. 若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取 即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.
【详解】取 满足 ，且 ，此时 ，A错误；
取 满足 ，且 ，此时 ，B错误；
可得 ，C正确；
取 满足 ，且 ，此时 ，D错误.
故选：C.
4. 若 的展开式中的常数项为－20，则a=（ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项.
【详解】已知 的展开式中的通项公式为： ，令 ，求得： ，可
得展开式的常数项为： ，解得： .
故选：D.
5. 已知 为抛物线 上一点， 到抛物线的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则
（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】分析可知点 的纵坐标为 ，由抛物线的定义可求得 的值.
【详解】由题意可知点 的纵坐标为 ，抛物线 的准线方程为 ，
由抛物线的定义可得 ，解得 .
故选：C.
6. 数列 是等差数列，若 ， ，则 （ ）
A. B. 9 C. 10 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可得 ，然后可得答案.
【详解】因为数列 是等差数列， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：B
7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为
，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的
比值为（ ）
A. 2600 B. 2700 C. 2 D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中函数关系式，令 和 ，分别求出对应的 ，即可得出结果.【详解】解：因为鲑鱼的游速(单位： )可以表示为 ，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位
数，
当一条鲑鱼静止时， ，此时 ，则 ，耗氧量为 ；
当一条鲑鱼以 的速度游动时， ，此时 ，
所以 ，则 ，即耗氧量为 ，
因此鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为 .
故选：D.
8. 已知函数 ，则“ ”是“ 为奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式以及已知条件求出 ，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为 ，
若函数 为奇函数，则 ，解得 ，
因为 ，
因此，“ ”是“ 为奇函数”的充分而不必要条件.
故选：A.9. 已知直线l被圆C： 所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，故直
线 一定经过圆面 内的点，再画出图象，结合图象分析即可．
【详解】解： 直线 被圆 所截的弦长不小于2， 圆心 到直线 的距离小于或等于
1，
故直线 一定经过圆面 内的点，在平面直角坐标系中分别画出 ，
、 、 的图象如下所示：
对于A：
对于B：对于C
对于D：
结合图象可知，在四个选项中只有这个点一定在椭圆 内或椭圆 上，与椭圆一定有公共点
故选：C．
10. 已知U是非实数集，若非空集合A，A 满足以下三个条件，则称（A，A）为集合U的一种真分拆，
1 2 1 2
并规定（A，A）与（A，A）为集合U的同一种真分拆
1 2 2 1
①A∩A=0
1 2
②A A=U
1 2
③ 的元素个数不是 中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 10 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】由真分拆的定义及规定即可求解.
【详解】解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有 ；
； ； ；
，共5种，
故选：A.
第二部分（来选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得 ，从而可求出 的值.
【详解】因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，所以 ，解得 ，
故答案为：2.
12. 已知 、 是单位向量， 且 ，则 · =___________， ____________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由已知可得出 ，可求得 的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得 的值.
【详解】因为 且 ，则 ，可得 ，
，故 .
故答案为： ； .
13. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=_______；若
g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用函数 的图象变换规律求得g（x）的解析式；再利用正弦函数的定义域和
值域，得出结论.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）的图象，则
.则在区间[0，m]上， ，要使g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），则 ，解出 .
则m的最大值为 .
故答案为： ； .
14. 函数 的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若 在区间（0,2）上存在零点，则
”为假命题的一个函数 的解析式可以为 =___________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
为
【分析】由题中命题 假命题，可知函数 满足在（0,2）上存在零点，且 ，进而
举例即可.
【详解】函数 的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若 在区间（0,2）上存在零点，则
”为假命题，可知函数 满足在（0,2）上存在零点，且 ，所以满足题
意的函数解析式可以为 .
故答案为： （答案不唯一）.
15. 如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BBC C的边界及
1 1 1 1 1 1
其内部运动.给出下列四个结论：
①DO⊥AC；
1②存在一点P，DO∥BP；
1 1
③若DO⊥OP，则△DC P面积的最大值为 ；
1 1 1
④若P到直线DC 的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.
1 1
其中所有正确结论的序号是_________________.
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，连接 ，由三角形 为等边三角形判读；
对于②，将DO进行平移到过 点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足
1
DO∥BP；
1 1
对于③，连 接 ，证明 平面 ，所以 在线段 上运动，当点 到点 位
置时， 最大，此时 面积最大为： .
对于④，P到直线DC 的距离为线段 的长度，所以 ，判定出P点位置即可.
1 1
【详解】对于①，连接 ，由正方体的性质知三角形 为等边三角形，由于 为底面
的中心，故为 中点，故 ，①正确；对于②，将DO进行平移到过B 点，使之与BP具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满
1 1 1
足 平行或重合于BP，所以DO不可能平行于 ，②错误；
1 1
对于③，取BB的中点E，连 接 ，
1
则 ，满足 ，
又 面 ， 面 ，所以 ， ，
所以 平面 ，
所以 在线段 上运动，当点 到点 位置时， 最大，
此时 面积最大为： .所以③正确.
对于④，P到直线DC 的距离为线段 的长度，所以 ，判定出P点位置为直线 的垂直平
1 1
分线，故④错误.
故正确的序号是: ①③.
故答案为: ①③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，
（1）求证： 平面 ；（2）若 ，求
① 与平面 所成角的正弦值；
的
②直线 与平面 距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）① ；② .
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明 即可；（2）建立坐标系，先求出平面
的法向量，利用空间向量解决.
【小问1详解】
在三棱柱 中，四边形 为平行四边形.
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，又 ，所以
两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系 ，则
，所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
，即
令 ，则 ， ，于是 .
①设直线 与平面 所成的角为 ，则.
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
②因为 面 ，所以直线 与平面 的距离就是点 到平面 的距离
设A到面 的距离为 ，则
17. 在△ABC中， .
（1）求∠B的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
条作① ；
条件② ；
条件③：AB边上的高为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解
答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得： ，从而得到 ，得出答案.
（2）选择条件①②，△ABC存在且唯一.由 得出 ，由正弦定理 及
解出 .
的
方法1：由两角差 余弦公式求出 ，最后由面积公式计算即可.
方法2：由余弦定理求出 ，最后由面积公式计算即可.
选择①③，△ABC存在且唯一. 由 得出 ，因为AB边上的高为 ，所以得出 ，再由正
弦定理求出解出 ，以下与选择条件①②相同.
【小问1详解】
由正弦定理 及 .
得 ，因为 ，所以
因为 ，所以 .
【小问2详解】
选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由 ，及 ，得 .
由正弦定理 及
得 ，解得 .
方法1：由 ，得.
所以 .
方法2：由余弦定理 ，得
即 ，解得
所以
选择①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由 ，及 ，得 .
因为AB边上的高为 ，所以 .
由正弦定理 及 ，
得 ，解得： .
（以下与选择条件①②相同）
18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现
了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得
里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月份 合计
月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月
空气质量优良天数 24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288
空气质量污染天数 7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77（1）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（2）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X
的分布列；
（3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为 ，空气
质量污染天数的方差为 ，试判断 ， 的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据统计数据可直接求解；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.再根据相互独立求出每一种情况下的概率，从而可得分布列；
（3）这些月份的和为定值31，这两个量的方差相等.
【小问1详解】
记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，
由统计数据可知 ；
【小问2详解】
X的所有可能取值为0，1，2，3.
方法1：记事件B为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件C为“从6月任选1天，这一天空气质
量优良”，事件D为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件B，C，D相互独立，
且 ， ，
所以 ，，
，
..
的
所以X 分布列为：
X 0 1 2 3
P
方法2：
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
【小问3详解】 ..
19. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；（2）若 在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，得到 ，求导，从而得到 ， ，写出切线方程；
（2）求导 ，令 ， ，易得函数 在区间（0，e]
上的最小值为 ，方法1：分 ， ， 讨论求解；方法2：根据 在
区间（0，e]上存在极小值，由 求解.
【小问1详解】
当 时， ，
则 ，
所以 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
，
令 ， ，则 ，
解 ，得 ，
与 的变化情况如下：
x （0，1） 1 （1，e）
－ 0 +
↘ 极小值 ↗
所以函数 在区间（0，e]上的最小值为 ，
方法1：
①当 时， .所以 恒成立，即 恒成立，
所以函数 在区间（0，e]上是增函数，无极值，不符合要求，
②当 时，因为 ， ，
所以存在 ，使得
（1， （ ，
x
） e）
－ 0 +
↘ 极小值 ↗
所以函数 在区间（1，e）上存在极小值 ，符合要求，
③当 时，因为
所以函数 在区间（1，e）上无极值.
取 ，则所以存在 ，使得
易知， 为函数 在区间（0，1）上的极大值点.
所以函数 在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求
综上，实数a的取值范围是 .
方法2：
“ 在区间（0，e]上存在极小值”，当且仅当 ，解得 .
证明如下：
当 时，
因为 ，所以存在 ，使得
（1， （ ，
x
） e）
－ 0 +
↘ 极小值 ↗
所以函数 在区间（1，e）上存在极小值.
所以实数a的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：本题第二问 在区间（0，e]是否存在极小值，转化为 有不等零点且左负
右正求解.
20. 已知椭圆C的离心率为 ，长轴的两个端点分别为 ， .
（1）求椭圆C的方程；（2）过点 的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线 交于点Q，求
证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，再根据离心率求出 ，最后根据 ，求出 ，即可求出椭圆方
程；
（2）设直线l的方程为 ， ， ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定
理，在表示出直线 的方程，即可求出 点坐标，再表示出 、 ，即可得到 ，即 、
、 三点共线，即可得证；
【小问1详解】
解：由长轴的两个端点分别为 ， ，可得 ，
由离心率为 ，可得 ，所以 ，
又 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ；
【小问2详解】
解：设直线l的方程为 ，
由 得设 ， ，则 ，
所以 ，直线 的方程为 ，所以
所以 ，
所以
，即 ，
所以 、 、 三点共线，所以 ；
21. 若无穷数列{ }满足如下两个条件，则称{ }为无界数列：
① （n=1，2，3......）
②对任意的正数 ，都存在正整数N，使得n>N，都有 .
（1）若 ， （n=1，2，3......），判断数列{ }，{ }是否是无界数列；
（2）若 ，是否存在正整数k，使得对于一切 ，都有 成立？若存
在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（3）若数列{ }是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得 .
【答案】（1）{ }是无界数列；{ }不是无界数列.
（2）存在，
（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）对任意的正整数 ，取 为大于 的一个偶数，有 ，符合无界
数列的定义；取 ，显然 ，不符合无界数列的定义.
（2）讨论 ， ， 都不成立，当 时，将 变形为：
，从而求得k的范围.
（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{ }是单调递增的无界正数列证明.
【小问1详解】
{ }是无界数列，理由如下：
对任意的正整数 ，取 为大于 的一个偶数，有 ，所以{ }是无界数列.
{ }不是无界数列，理由如下：
取 ，显然 ，不存在正整数 ，满足 ，所以{ }不是无界数列.
【小问2详解】
存在满足题意的正整数k，且 .
当 时， ，不成立.
当 时， ，不成立
当 时， ，不成立
当 时，将 变形为：.
即取 ，对于一切 ，有 成立.
【小问3详解】
因为数列{ }是单调递增的无界数列，所以 ，
所以
.
即
因为{ }是无界数列，取 ，由定义知存在正整数 ，使 所以
.
由定义可知{ }是无穷数列，考察数列 ， ， …，显然这仍是一个单调递增的无界数列，
同上理由可知存在正整数 ，使得
.
故存在正整数 ，使得
.故存在正整数 ，使得 成立
