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北京十一学校 2024 届高三数学三模（2024.5.28）
总分：150分 时间：120分钟 命题人：杨文学
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项）
1. 若复数 为纯虚数，其中 ， 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
2. 已知 ， ，则 （ ）
A. 空集 B. 或
C. 或 且 D. 以上都不对
3. 已知向量 ，若 ，则（ ）
.
A B.
C. D.
的
4. 设 ， 是两条直线， 是平面，已知 ，则 是 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 数列 是等差数列 ， 是各项均为正数的等比数列，公比 ，且 ，则
A. B.
C. D.
6. 在 的展开式中， 项的系数为（ ）
.
A B. C. 16 D. 144
7. 已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2) 偶函数，且f(1)＝ ，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)
是＝（ ）
A. B. C. π D.
8. 已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
10. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 的方程为： ， 为坐标原点，点
，点 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆 关于 轴对称；②卵圆上不存在两点关于
直线 对称；③线段 长度的取值范围是 ；④ 的面积最大值为1；
其中正确说法的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11. 过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，若弦 中点纵坐标为2，则
______．
12. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值______．
13. 在 中， 分别是角 的对边，且 ，则角 的取值范围为______．
14. 在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回
答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯 A
的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的 5个白球和5个红球．每个被调查
者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸
到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．
已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为______．
15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是
几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的
体积相等．已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，且过点 ，则双曲线的渐近线方程为
______．若直线 与 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形
绕 轴旋转一周所得几何体的体积为______．三、解答题（本题共6个小题，共85分）
16. 在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的正半轴重合，终边与单位圆交
于 ，将 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于 ，记 ．
（1）求函数 的值域；
（2）在 中，若 ， ， ，求 的面积．
17. 近年来，汽车自动驾驶技术高速发展，日趋成熟.自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装
置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的
技术，其安全性备受人们的关注.2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公
司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动
驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件.每次脱离
平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预
一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要
指标之一.下图是今年发布的《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了10家公司的数据.
公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值
百度 中国 108300 6 18050谷歌Waymo 美国 1454137 110 13219
通用Cruise 美国 831040 68 12221
比亚迪 中国 32054 3 10684
小马智行 中国 174845 27 6475
Nuro 美国 68762 34 2022
Zoox 美国 67015 42 1595
小米 中国 12272 8 1534
苹果 美国 7544 64 117
奔驰 德国 14238 2054 6.9
（1）从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概
率；
（2）从表中的10家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率；
（3）有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全
面超越谷歌公司.你是否同意此观点？并说明你的理由．
18. 四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， . ,且 平面
， ，点 分别是线段 上的中点， 在 上.且 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.19. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： ．（ 且 ）
20. 已知椭圆C的标准方程为 ，梯形 的顶点在椭圆上．
（1）已知梯形 的两腰 ，且两个底边 和 与坐标轴平行或在坐标轴上．若梯形一
底边 ，高为 ，求梯形 的面积；
（2）若梯形 的两底 和 与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形？
并说明理由．
21. 已知 ，数列A： ， ，… 中的项均为不大于 的正整数. 表示 ， ，… 中 的个
数（ ）.定义变换 ， 将数列 变成数列 ： ， ，… 其中
.
（1）若 ，对数列 ： ，写出 的值；
（2）已知对任意的 （ ），存在 中的项 ，使得 .求证： （ ）
的充分必要条件为 （ ）；
（3）若 ，对于数列 ： ， ，… ，令 ： ，求证： （
）.
