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赣州市 2024 年高三年级摸底考试
数学试卷
2024年3月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 为虚数单位. ，则 （ ）
A.1 B. C.2 D.4
3.在 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体 中， 为棱 的中点，过 且平行于平面 的平面截正方体
所得截面面积为（ ）
A. B. C. D.
5.在平行四边形 中， ，则 （ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
6.若一组样本数据 的方差为 ，则样本数据
的方差为（ ）
A.1 B.2 C.2.5 D.
学科网（北京）股份有限公司7.已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8.在边长为4的正方体 中，点 是 的中点，点 是侧面 内的动点（含四条
边），且 ，则 的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知等比数列 的前 项和为 ，则（ ）
A. B.
C.数列 为单调数列 D.数列 为单调数列
10.已知函数 ，则（ ）
A. 是 的一个周期 B. 的图象关于原点对称
C. 的图象过点 D. 为 上的单调函数
11.曲线 是平面内与两个定点 的距离的积等于 的点 的轨迹，则（ ）
A.曲线 关于坐标轴对称 B. 周长的最小值为
C. 到 轴距离的最大值为 D. 到原点距离的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.求值： __________.
学科网（北京）股份有限公司13. 展开式中的常数项为__________.
14.已知 是抛物线 上异于顶点的点， 在 处的切线 分别交 轴､ 轴于点 ，过 作 的垂
线分别交 轴､ 轴于点 ，分别记 与 的面积为 ，则 的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面
为侧棱 的中点.
（1）求点 到平面 的距离：
（2）求二面角 的正切值.
16.（15分）
某人准备应聘甲､乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业
技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为 ，该应聘者应聘乙
公司，三项专业技能测试通过的概率依次为 ， ，m，其中 ，技能测试是否通过相互独立.
（1）若 .求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
（2）已知甲､乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过
项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
17.（15分）
己知椭圆 过点 ，椭圆 的右焦点与点 所在直线的斜率为 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆 的方程；
（2）若过 的直线 与椭圆 交于 两点.点 .直线 分别交椭圆 于点 ，直线
的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
18.（17分）
已知函数 .
（1）求 的单调区间，
（2）已如 .若函数 有唯一的零点 .证明， .
19.（17分）
设数列 .如果对小于 的每个正整数 都有 .则称 是数列 的一个
“ 时刻”.记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合， 的元素个数记为 .
（1）对数列 ，写出 的所有元素；
（2）数列 满足 ，若 .求数列 的种数.
（3）证明：若数列 满足 ，则 .
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数学（理科）参考答案
一､单选题（共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B A A C D D
二､多选题（共18分）
题号 9 10 11
答案 BC ABC ABD
三､填空题（共15分）
12. 13.630 14.1
四､解答题（共77分）
15.解：（1）由 平面 ，可得
学科网（北京）股份有限公司令点 到平面 的距离为 ，则
由 ，可得
则
由 ，可得：
由 平面 ，可得 ，则
则 ，即点 到平面 的距离为
（2）设 为 的中点，过 作 交 于 ，连结
是 的中点， 平面
平面 ，
为二面角 的一个平面角
又 ，
且 ，可得
则
即二面角 的正切值为
说明：也可以利用向量法!
16.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件
由题设
学科网（北京）股份有限公司（2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为 ”
由题设知：
所以
的所有可能取值为
，
，
，
故 的分布列为
0 1 2 3
从而
由 得
解得
17.解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为 ，且椭圆 的右焦点为
学科网（北京）股份有限公司由题意得：
解得
所以 的方程为：
（2）设 的方程为 ，设 ，则直线 的方程为
由 可得
结合 ，可得
可得 ，解得
代入 ，解得
同理可得
故
学科网（北京）股份有限公司，故直线 的斜率是定值，且定值为2
18.解：（1）
当 时， 为增函数
又
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
的减区间为 ，增区间为
（2）
由（1）可知 在 单调递增，且 ，
又
存在唯一的 使得
当 时 单调递减；当 时 单调递增；
若方程 有唯一的实数 ，则
学科网（北京）股份有限公司消去 可得
令 ，
则
在 上为减函数
且
当 时 ，即
19.解：（1）由题设知当 时， ，故 是数列 的一个“ 时刻”
同理当 时，都有 ，即 也是数列 的一个“ 时刻”
综上，
（2）由 ，易知 或
①当 时， 必须从左往右排列，6可以是 中任一个，共有5种情况
②当 时，若 中的四个元素是由集合 中的元素 或 或 或 引起的
1.若由 引起，即4，3，2，1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4种；
2.若由 引起，即5，3，2，1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种
3.若由 引起，即 从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；
4.若由 引起，即 从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1种
综上，符合 的数列 有15种
学科网（北京）股份有限公司另解：
因为数列 ，由题意可知 中的四个元素为 中的四个共有5种
情况：
①当 时，数列 共有1种情况；
②当 时，数列 共有2种情况；
③当 时，数列 共有3种情况；
④当 时，数列 共有4种情
况；
⑤当 时，数列 ，
共有5种情况；
综上，符合 的数列 有15种
（3）①若 ，由 ，所以 ，即 成立
②若 ，
不妨设 且
从而
由累加法知：
又 ，即
综上： .证毕
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