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焦作市普通高中 2023—2024 学年高三第一次模拟考试
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡．上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．5 B． C． D．
3．若圆 与 轴相切，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知 所在平面内一点 满足 ，则 的面积是 的面积的（
）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只
有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
学科网（北京）股份有限公司7．已知函数 有两个极值点p，q，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的右焦点为 ，过 且与一条渐近线平行的直线与 的右支及
另一条渐近线分别交于B，D两点，若 ，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 为 的一个周期 B． 的图象关于直线 对称
C． 为偶函数 D． 在 上单调递增
10．已知正三棱台 中， 的面积为 ， 的面积为 ， ，棱
的中点为 ，则（ ）
A．该三棱台的侧面积为30 B．该三棱台的高为
C． 平面 D．二面角 的余弦值为
11．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责
其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标
的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是（ ）
A．该项目达标的概率为0.68
B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54
C．若该项目达标，则甲负责工序A的概率为
D．若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为
学科网（北京）股份有限公司12．已知抛物线 的准线 ，直线 与抛物线 交于M，N两
点， 为线段 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则以 为直径的圆与 相交
B．若 ，则 为坐标原点）
C．过点M，N分别作抛物线 的切线 ， ，若 ， 交于点 ，则
D．若 ，则点 到直线 的距离大于等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆锥的底面半径为1，体积为 ，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．
14．已知数列 中， ，且 ，则 的前12项和为_________．
15．已知正实数m，n满足 ，则 的最大值为_________．
16．若函数 在 上没有零点，则实数 的取值范围为_________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（I）证明： ；
（II）若 ，求 的值．
18．（12分）
如图所示，在三棱锥 中， ， ， ．
学科网（北京）股份有限公司（I）求证：平面 平面 ；
（II）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12分）
已知数列 中， ， ．
（I）求 的通项公式；
（II）若 ，求数列 的前n项和 ．
20．（12分）
为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了 次试验，假设小王每次试验成功的
概率为 ，且每次试验相互独立．
（I）若小王某天进行了4次试验，且 ，求小王这一天试验成功次数 的分布列以及期望；
（II）若恰好成功2次后停止试验， ，以 表示停止试验时试验的总次数，求 ．（结果用
含有 的式子表示）
21．（12分）
（I）求函数 的极值；
（II）若 ，证明：当 时， ．
22．（12分）
已知椭圆 的离心率为 ，直线 过 的上顶点与右顶点且与圆 相
切．
（I）求 的方程．
学科网（北京）股份有限公司（II）过 上一点 作圆 的两条切线 ， （均不与坐标轴垂直）， ， 与 的另一个交点分别
为 ， ．证明：
（i）直线 ， 的斜率之积为定值；
（ii） ．
焦作市普通高中 2023—2024 学年高三第一次模拟考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案A
命题意图本题考查集合的表示、集合的运算．
解析依题意， ， ，所以 ．
2．答案B
命题意图本题考查复数的基本运算．
解析 ，虚部为 ．
3．答案D
命题意图本题考查圆的方程与性质．
解析因为圆 与 轴相切，所以 且 ，解得 ．
4．答案B
命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定．
解析 ，显然 ，则
，解得 或 ．
5．答案A
命题意图本题考查平面向量的线性运算．
解析设 的中点为 ，因为 ，所以 ，所以点 是线段 的五等分点，
所以 的面积是 的面积的5倍．
学科网（北京）股份有限公司6．答案C
命题意图本题考查排列组合．
解析1与4相邻，共有 种排法，两个2之间插入1个数，共有 种排法，再把组合好的数全排列，
共有 种排法，则总共有 种密码．
7．答案D
命题意图本题考查导数的运算、指数的运算．
解析依题意， ，则 即 显然 ， ，故 ，则 ，
代入 中，解得 ，则 ．
8．答案C
命题意图本题考查双曲线的方程与性质．
解析易知 的渐近线方程为 ，不妨设直线 ，联立方程得 得 ，
，则 ．而 ，故 ，代入 中，得 ，
则 ，故所求 的渐近线方程为 ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对
的得2分，有选错的得0分．
9．答案AB
命题意图本题考查三角函数的图象与性质．
解析依题意， 的最小正周期 ，则 为 的一个周期，故A正确； ，故
B正确； ，不是偶函数，故C错误； 在 上单调递减，故D错误．
10．答案BCD
命题意图本题考查三棱台的结构特征．
学科网（北京）股份有限公司解析对于A，根据条件可得 ， ，所以等腰梯形 的高为 ，面积
为 ，所以该三棱台的侧面积为 ，故A错误；
对于B，设 的中心为 ， 的中心为 ，可知 是直角梯形， ，
， ，故B正确；
对于C，分别延长棱 ， ， 交于点 ，易知 为等边三角形，四面体 为正四面体，
恰好为 的中心，所以 平面 ，故C正确；
对于 ，二面角 即正四面体相邻侧面的夹角，由正四面体的性质可知其余弦值为 ，故D正确．
11．答案ACD
命题意图本题考查条件概率、全概率公式．
解析记甲负责工序A为事件 ，甲负责工序B为事件 ，甲负责工序C为事件 ，该项目达标为事件
．对于A，该项目达标的概率为
，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确．
12．答案BCD
命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题．
解析由题可得抛物线 ，设 ， ．
学科网（北京）股份有限公司对于A，直线 过 的焦点，则以 为直径的圆与 相切，故A错误；
对于B，直线 ，将 代入，得 ，则 ，故
，故B正确；
对于C，抛物线 在点 处的切线方程为 ，抛物线 在点 处的切线方程为 ，联
立两式，解得 ，故 ，故C正确；
对于D，由抛物线的对称性进行临界分析，可知当 轴时，点 到直线 的距离最小，此时
，点 到直线 的距离为 ，故 正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图本题考查空间几何体的结构特征．
解析设圆锥（如图所示）的高为 ．因为 ，所以 ，母线 ．
将圆锥沿 展开所得扇形的弧长为 ，则扇形的圆心角为 ．
14．答案
命题意图本题考查数列的周期性、分组求和．
学科网（北京）股份有限公司解析依题意 ，故 ，所以 ， ， ，…，故 的前12项和为
．
15．答案2
命题意图本题考查基本不等式及其应用．
解析依题意得 ，则
，当且仅当 时等
号成立，则 ，解得 ，则 的最大值为2．
16．答案
命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．
解析令 ，显然 ，则 ，令 ， ，则
，令 ，得 ， ，易知函数 在 和 上单调递增，
在 和 上单调递减，且极大值为 ，极小值为 ．由图象可知，当 时，
直线 与曲线 没有交点，即 在 上没有零点．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图本题考查正余弦定理及其应用、三角恒等变换．
学科网（北京）股份有限公司解析（I）由正弦定理及条件可得 ，
由余弦定理可得 ，化简得 ．
（II）由 得 ，
化简得 ，又 ，故 ，
所以 ，故 ．
18．命题意图本题考查空间面面的位置关系，向量法求空间角．
解析（I）因为 ，所以 ，
同理可得 ，故 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 ．
（II）以C为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设 为平面 的法向量，
则 即 令 ，得 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
19．命题意图本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法求和．
解析（I）由 ，可得 ，
故数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
故 ，则 ．
（II）由（I）可知 ，
故 ．
20．命题意图本题考查二项分布、相互独立事件的概率、互斥事件的概率．
解析（I）依题意， ，
则 ， ，
，
，
故 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
学科网（北京）股份有限公司故 ．
（II）方法一：设 “停止试验时试验总次数不大于 ”，
则 ，
“ 次试验中，成功了0次或1次”，
“ 次试验中，成功了0次”的概率 ；
“ 次试验中，成功了1次”的概率 ．
所以 ．
方法二：事件“ ”表示前 次试验只成功了1次，且第 次试验成功，
故 ，
所以 ，
利用错位相减法可得该式的结果为 ．
21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．
解析（I）依题意， ，令 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，故 的极小值为0，无极大值．
（II）由（I）可知，当 时， ，则 ．
令 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，易知 在 上单调递增．
因为 ，所以 ， ，
故 ，使得 ，即 ①．
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 ②．
由①可得 ，
代入②，得 ，
而 ，故 ，故 ，即原命题得证．
22．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．
解析（I）设椭圆的半焦距为 ．依题意，离心率 ，则 ， ①．
直线 ，即 ，由题可知 ②．
联立①②，解得 ， ，故 的方程为 ．
（II）（i）设过点 且与圆 相切的直线的方程为 ，
则 ，整理得 ，
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ，为定值．
学科网（北京）股份有限公司（ii）由（i）的过程可知直线 ，联立方程得
则有 ，故 ．
直线 ，同理可得 ．
故
，
则 ．
学科网（北京）股份有限公司
