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绝密★启用前
2023—2024 学年高中毕业班阶段性测试（六）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题
卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 是虚数单位，则 （ ）
A.1 B.2 C. D.
3. 的展开式中 的系数为（ ）
A.-225 B.60 C.750 D.1215
4.设 为偶数，样本数据 的中位数为 ，则样本数据
的中位数为（ ）
A. B. C. D.
5.直线 与曲线 相切的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.圆锥甲､乙､丙的母线与底面所成的角相等，设甲､乙､丙的体积分别为 ，侧面积分别为 ，
高分别为 ，若 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在正方体 中， 分别为棱 的中点，则（ ）
A. B. 四点共面
C. 平面 D. 平面
10.已知函数 ，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于点 对称
C. 的图象关于直线 对称
学科网（北京）股份有限公司D. 在区间 上的最小值为
11.已知 是抛物线 上的动点，点 为坐标原点，点 到 的准线
的距离最小值为1，则（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 的取值范围是
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 __________.
13.已知 分别为平行四边形 的边 的中点，若点 满足 ，则
__________.
14.已知双曲线 的右焦点为 ，左､右顶点分别为 ，点 在 上运动（与
枃不重合），直线 交直线 于点 ，若 恒成立，则 的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
将一枚质地均匀的正四面体玩具（四个面分别标有数字 ）抛掷3次，记录每次朝下的面上的数字.
（1）求3次记录的数字经适当排序后可成等差数列的概率；
（2）记3次记录的最大的数字为 ，求 的分布列及数学期望 .
16.（15分）
如图，在四棱锥 中， .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 为等腰三角形；
（2）若平面 平面 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
17.（15分）
记数列 的前 项和为 .
（1）证明 为等比数列，并求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使不等式 成立的 的最大值.
18.（17分）
已知椭圆 的左顶点和在焦点分别为 ， ，且 ，点
满足 .
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线 与 交于 两点，与 轴交于点 ，且点 在点 的左侧，点 关于 轴的对称点
为 ，直线 分别与直线 交于 两点，求 面积的最小值.
19.（17分）
已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司2023—2024 学年高中毕业班阶段性测试（六）
数学·答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分.
9.AC 10.CD 11.ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 14.2
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
学科网（北京）股份有限公司15.解析（1）抛掷正四面体玩具3次，所有可能的结果有 种，
3次记录的数字可以排成等差数列，如果3个数字相同，则不同的结果有4种，如果3个数字互不相同，则不
同的结果有 种，
因此所求的概率为 .
（2） 的所有可能取值为 ，
，
，
，
.
故 的分布列为
1 2 3 4
的数学期望 .
16.解析（1）取 的中点 ，连接 .
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 是 的垂直平分线，所以 ，即 是等腰三角形.
（2）由（1）知 ，因为平面 平面 ，所以 平面 ，从而可知
两两垂直.
以 为坐标原点， 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设 ，由已知得 ，
所以 .
设 为平面 的法向量，
则 得 取 ，得 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
解得 ，故 .
17.解析（1）由 ，
得 ，即 ，
所以 ，变形得 ，
故数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 .
（2）因为 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 .
设函数 .
因为 ，
所以 单调递增.
又 ，所以 ，
所以使 成立的最大正整数 的值为6.
18.解析（1）由题意知 ，设 .
因为 ，所以 ①.
因为 ，
所以 ，即 ②.
由①②解得 ，
所以 的方程为 .
学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，由题可设直线 ，则 .
令 ，得 ，由 ，得 .
由 得 ，
所以 .
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
所以 ，
因为
，
又 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 面积的最小值为 .
19.解析（1）当 时， ，
则 ，
易知函数 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由题意知 ，且 .
令函数 ，则 .
①若 ，则 在 上单调递减.
又 ，则当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减.
所以 在 处取得极大值，不合题意.
②若 ，则 ，令 ，得 ，故 在 上单调递
减.
又 ，
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，从而 在 上单调递增；
当 时， ，从而 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，不合题意.
③若 ，则 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，所以 ，从而 ，
所以 在 上单调递增，不合题意.
④若 ，则 ，
令 ，解得 ，故 在 上单调递增.
又 ，
故当 时， ，从而 在 上单调递减，
当 时， ，从而 在 上单调递增.
所以 在 处取得极小值，符合题意.
综上， 的取值范围是 .
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