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2023—2024 学年高中毕业班阶段性测试（六）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题
卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合A={x∣−1< x<4},B= { x∣y =ln ( x−3 )} ，则A∩B=（ ）
A.{x∣3< x<4} B.{x∣−1< x<4} C.{x∣−3< x<1} D.{x∣x>−1}
3+4i
2.已知i是虚数单位，则 =（ ）
2+i
A.1 B.2 C. 5 D. 6
6
1
3.3x−
的展开式中x2的系数为（ ）
x
A.-225 B.60 C.750 D.1215
4.设n为偶数，样本数据x ,x ,,x ( x < x << x ) 的中位数为m，则样本数据
1 2 n 1 2 n
x +x ,x +x ,x +x ,,x +x 的中位数为（ ）
1 2 2 3 3 4 n−1 n
A.m−1 B.m C.2m−1 D.2m
5.直线l: y =3x+a与曲线y =sin3x相切的一个充分不必要条件为（ ）
A.a=1 B.a=−2π
4π
C.a=π D.a =
3
1
6.已知cosθ−sinθ= ，则cos4θ=（ ）
4
学科网（北京）股份有限公司97 15 97 95
A.− B.− C.− D.−
128 16 256 256
3m
7.已知正数m,n满足 +1=2m，若m+2n λmn2恒成立，则实数λ的最小值为（ ）
n
1 2 1 4
A. B. C. D.
4 5 2 5
8.圆锥甲､乙､丙的母线与底面所成的角相等，设甲､乙､丙的体积分别为V,V ,V ，侧面积分别为S ,S ,S ，
1 2 3 1 2 3
S
高分别为h,h ,h ，若V =V +V ,S =S + 3 ，则h =（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3
2hh 2hh
A.2 ( h +h )− 1 2 B.2 ( h −h )+ 1 2
1 2 h +h 1 2 h −h
1 2 1 2
h +h hh h −h hh
1 2 − 1 2 1 2 + 1 2
C. D.
2 2 ( h +h ) 2 2 ( h −h )
1 2 1 2
二､多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.在正方体ABCD−ABC D 中，M,N 分别为棱AB,AD的中点，则（ ）
1 1 1 1 1 1
A.AC ⊥ DC B.A,C ,M,N 四点共面
1 1 1
C.AC ∥平面NDC D.MN ⊥平面NDC
1 1 1
sinx+cosx
10.已知函数 f ( x )= ，则（ ）
sinxcosx
A. f ( x ) 的定义域为 { x∣x≠kπ,k∈Z }
3π
( )
B. f x 的图象关于点 ,1对称
4
3π
C. f ( x ) 的图象关于直线x=− 对称
4
π
( )
D. f x 在区间0, 上的最小值为2 2
2
11.已知A是抛物线E: y2 =2px(p >0)上的动点，点B (−1,4 ) ,C (−4,0 ) ,O为坐标原点，点A到E的准线
学科网（北京）股份有限公司的距离最小值为1，则（ ）
A. p =2
5
B. AB 的最小值为
2
1 11
C.tan∠ACB的取值范围是
,
2 2
D.∠ACB ∠ACO
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.已知等比数列 { a } 的各项均为正数，且a +a =17,a +a =68，则a =__________.
n 1 5 3 7 n
MP
13.已知M,N 分别为平行四边形ABCD的边BC,CD的中点，若点P满足6AP+5DA=4DC，则 =
MN
__________.
x2 y2
14.已知双曲线C: − =1(a >0,b>0)的右焦点为F ，左､右顶点分别为A,A ，点M 在C上运动（与
a2 b2 1 2
5
A,A 枃不重合），直线MA 交直线x= a于点N ，若FN⋅MA =0恒成立，则C的离心率为
1 2 2 4 1
__________.
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
将一枚质地均匀的正四面体玩具（四个面分别标有数字1,2,3,4）抛掷3次，记录每次朝下的面上的数字.
（1）求3次记录的数字经适当排序后可成等差数列的概率；
( )
（2）记3次记录的最大的数字为X ，求X 的分布列及数学期望E X .
16.（15分）
1
如图，在四棱锥A−BCDE中，AB⊥ BC,BC∥ DE,DC ⊥ BC,BC =CD= DE =1.
2
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：AED为等腰三角形；
3 5
（2）若平面BCDE ⊥平面ABC，直线BE与平面ACD所成角的正弦值为 ，求AB.
10
17.（15分）
记数列 { a } 的前n项和为S ,a =1, ( 3−2n ) S +2n ( S +2a )=3S +2a .
n n 1 n+1 n n n n
a
（1）证明 n 为等比数列，并求 { a } 的通项公式；
3−2n n
a a 51
（2）设b
n
=−
2
n
n
+1,c
n
=
b b
n ，数列 { c
n
} 的前n项和为T
n
，求使不等式T
k
−
13
成立的k的最大值.
n n+1
18.（17分）
已知椭圆C:
x2
+
y2
=1(a >b>0)的左顶点和在焦点分别为Q，F ，且 QF =3，点D ( 0,1 )
a2 b2
满足DQ⋅DF =−1.
（1）求C的方程；
（2）过点D的直线l与C交于A,B两点，与x轴交于点T ，且点T 在点Q的左侧，点B关于x轴的对称点
为E，直线QA,QE分别与直线x=1交于M,N 两点，求TMN面积的最小值.
19.（17分）
1
已知函数 f ( x )=( m+1−x ) ex − me2x −2.
2
( )
（1）当m=2时，讨论 f x 的单调性；
（2）若x=0是 f ( x ) 的极小值点，求实数m的取值范围.
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数学·答案
一､单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C
二､多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.每小题全部选对的得 6分，部分选对的
得部分分，有选错的得 0分.
9.AC 10.CD 11.ACD
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
2
12.2n−1 13. 14.2
3
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解析（1）抛掷正四面体玩具3次，所有可能的结果有43 =64种，
3次记录的数字可以排成等差数列，如果3个数字相同，则不同的结果有4种，如果3个数字互不相同，则
不同的结果有2A3 =12种，
3
学科网（北京）股份有限公司4+12 1
因此所求的概率为 = .
64 4
（2）X 的所有可能取值为1,2,3,4，
1
P ( X =1 )= ，
64
C1 +C2 +C3 7
P ( X =2 )= 3 3 3 = ，
64 64
22C1 +2C2 +C3 19
P ( X =3 )= 3 3 3 = ，
64 64
32C1 +3C2 +C3 37
P ( X =4 )= 3 3 3 = .
64 64
故X 的分布列为
X 1 2 3 4
1 7 19 37
P
64 64 64 64
1 7 19 37 55
X 的数学期望E ( X )=1× +2× +3× +4× = .
64 64 64 64 16
16.解析（1）取DE的中点M ，连接BM,AM .
1
因为BC∥ DE,BC = DE = DM ，所以四边形BCDM 是平行四边形，
2
所以BM ∥CD.
因为BC ⊥CD，所以BC ⊥ BM .
又因为AB⊥ BC,AB∩BM = B，所以BC ⊥平面ABM ，
所以DE ⊥平面ABM ，所以DE ⊥ AM ，
即AM 是DE的垂直平分线，所以AE = AD，即AED是等腰三角形.
（2）由（1）知BC ⊥ BM ，因为平面ABC ⊥平面BCDE，所以BM ⊥平面ABC，从而可知
BM,BC,BA两两垂直.
学科网（北京）股份有限公司以B为坐标原点，BA,BC,BM 所在直线为x轴､ y轴､z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设A ( a,0,0 ) (a>0)，由已知得B ( 0,0,0 ) ,E ( 0,−1,1 ) ,D ( 0,1,1 ) ,C ( 0,1,0 ) ，
所以CD=( 0,0,1 ) ,CA=( a,−1,0 ) ,BE =( 0,−1,1 ) .
设n
=(
x,y,z
)
为平面ACD的法向量，
n⋅CD=0, z =0,
则 得 取x=1，得n =( 1,a,0 ) .
n⋅CA=0, ax= y,
设直线BE与平面ACD所成的角为θ，
a 3 5
则sinθ= cos n,BE = = ，
2a2 +2 10
解得a=3，故AB=3.
17.解析（1）由 ( 3−2n ) S +2n ( S +2a )=3S +2a ，
n+1 n n n n
得 ( 3−2n )( S −S )=2 ( 1−2n ) a ，即 ( 3−2n ) a =2 ( 1−2n ) a ，
n+1 n n n+1 n
a a a a
所以 n+1 =2⋅ n ，变形得 n+1 =2⋅ n ，
1−2n 3−2n 3−2 ( n+1 ) 3−2n
a a
故数列 n 是首项为 1 =1，公比为2的等比数列，
3−2n 3−2
a
所以 n =2n−1，即a =( 3−2n )⋅2n−1 .
3−2n n
a
（2）因为b =− n+1 =2n−1，
n 2n
a ( 3−2n )⋅2n−1 2n−1 2n
所以c = n = = − ，
n b b ( 2n−1 )( 2n+1 ) 2n−1 2n+1
n n+1
学科网（北京）股份有限公司20 21 21 22 2n−2 2n−1 2n−1 2n 2n
T = − + − ++ − + − =1− .
n 1 3 3 5 2n−3 2n−1 2n−1 2n+1 2n+1
51 2k 51 64 2k
因为T k − 13 ，所以1− 2k+1 − 13 ，即 13 2k+1 .
2n
设函数 f ( n )= ,n∈N*.
2n+1
2n+1 2n ( 4n+2−2n−3 ) 2n ( 2n−1 ) 2n
因为 f ( n+1 )− f ( n )= − = = >0，
2n+3 2n+1 ( 2n+3 )( 2n+1 ) ( 2n+3 )( 2n+1 )
所以 f ( n )=
2n
( n∈N* ) 单调递增.
2n+1
26 64
又 f ( 6 )= = ，所以k6，
2×6+1 13
51
所以使T − 成立的最大正整数k的值为6.
k 13
18.解析（1）由题意知Q (−a,0 ) ，设F ( c,0 ) (c>0).
因为 QF =3，所以a+c=3①.
因为DQ=(−a,−1 ) ,DF =( c,−1 ) ,DQ⋅DF =−1，
所以−ac+1=−1，即ac=2②.
由①②解得a=2,c=1,b= 4−1= 3，
x2 y2
所以C的方程为 + =1.
4 3
（2）设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，由题可设直线AB: y =kx+1，则E ( x ,−y ) ,y >0,y >0.
1 1 2 2 2 2 1 2
1 1 1
令 y =0，得x=− ，由− <−2，得00，即 f′(
x
)>0，当x>0时，h (
x
)<0，即 f′(
x
)<0，
所以 f
(
x
)
在
(−∞,0 )
上单调递增，在
( 0,+∞)
上单调递减.
（2）由题意知 f′( x )=( m+1−x−1 ) ex −me2x = ( m−x−mex ) ex，且 f′( 0 )=0.
令函数g
(
x
)=m−x−mex，则g′(
x
)=−1−mex
.
①若m0，则g′(
x
)<0,g (
x
)
在R上单调递减.
又g
(
0
)=0，则当x<0时，g (
x
)>0，所以 f′(
x
)>0,
f
(
x
)
在
(−∞,0 )
上单调递增，
当x>0时，g
(
x
)<0，所以 f′(
x
)<0,
f
(
x
)
在
( 0,+∞)
上单调递减.
( )
所以 f x 在x=0处取得极大值，不合题意.
1 1 1
②若−10，令g′( x )<0，得x0，从而 f′(
x
)>0,
f
(
x
)
在
(−∞,0 )
上单调递增；
1 1
当0< x0，解得x>0，令g′( x )<0，解得x<0，
m
所以g
(
x
)
在
(−∞,0 )
上单调递减，在
( 0,+∞)
上单调递增，
所以g
(
x
)
在x=0处取得极小值，也是最小值，所以g
(
x
)
g
(
0
)=0，从而 f′(
x
)
0，
所以 f
(
x
)
在
(−∞,+∞)
上单调递增，不合题意.
学科网（北京）股份有限公司 1
④若m<−1，则ln − <0，
m
1 1
令g′( x )>0，解得x>ln − ，故g ( x ) 在ln − ,+∞ 上单调递增.
m m
1
又 ( 0,+∞)⊆ ln − ,+∞ ,g ( 0 )=0，
m
1 1
故当ln − < x<0时，g ( x )<0，从而 f′( x )<0, f ( x ) 在ln − ,0上单调递减，
m m
当x>0时，g
(
x
)>0，从而 f′(
x
)>0,
f
(
x
)
在
( 0,+∞)
上单调递增.
( )
所以 f x 在x=0处取得极小值，符合题意.
综上，m的取值范围是 (−∞,−1 ) .
学科网（北京）股份有限公司
