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焦作市普通高中 2023—2024 学年高三年级第一次模拟考试
数学
考生注意：
1答题前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码形贴在答
题卡上的指定位置.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.已知集合 ，则 （ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
2.已知复数 在复平面内所对应的点分别为 ，则 （ ）
A. B.1 C. D.2
3.已知 ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知 的内角 的对边分别是 .若 ，则 （ ）
A. B. C.2 D.3
学科网（北京）股份有限公司5.已知直四棱柱 的底面为梯形，
，若 平面 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.如图所示， （ ）
A. B. C. D.
7.记椭圆 与圆 的公共点为 ，其中 在 的左侧， 是圆
上异于 的点，连接 交 于 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数 在定义域 上存在最小值 ，则当 取得最小值时， （ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在一次数学测试中，老师将班级60位同学的成绩按照从小到大的顺序进行排列后得到的原始数据为
（数据互不相同），其极差为 ，平均数为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的平均数为
学科网（北京）股份有限公司B. 的第25百分位数与原始数据的相同
C.若 的极差为 ，则
D. 的平均数大于
10.已知函数 为 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.函数 的图象不可能关于 轴对称
B.若 且 在 上恰有4个零点，则
C.若 ，则 的最小值为
D.若 ，且 在 上的值域为 ，则 的取值范围是
11.费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点 是双曲
线 （ 为 的两个焦点）上的一点，则 在点 处的切线平分 .已知双曲线
的左､右焦点分别为 ，直线 为 在其上一点 处的切线，则下列结论中正确的是
（ ）
A. 的一条渐近线与直线 相互垂直
B.若点 在直线 上，且 ，则 （ 为坐标原点）
C.直线 的方程为
D.延长 交 于点 ，则 的内切圆圆心在直线 上
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同
学绘制的赵爽弦图，其中四边形 均为正方形， ，则 __________.
学科网（北京）股份有限公司13.已知数列 的前 项和 ，若 是 的等差中项，则
__________.
14.已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点 中心对称，若
，则 __________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知等比数列 的首项为2，公比 为整数，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，比较 与4的大小关系，并说明理由.
16.（15分）
如图，在四棱柱 中，二面角 均为直二面角.
（1）求证： 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，二面角 的正弦值为 ，求 的值.
17.（15分）
在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲､乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先贏三场者
获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得
最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢
两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独
立，且每场比赛甲获胜的概率均为 .
（1）若 ，求第一天比赛的总场数为4的概率；
（2）若 ，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率.
18.（17分）
已知抛物线 的焦点为 ，在 轴上的截距为正数的直线 与 交于 两点，直线 与 的
另一个交点为 .
（1）若 ，求 ；
（2）过点 作 的切线 ，若 ，则当 的面积取得最小值时，求直线 的斜率.
19.（17分）
已知函数 .
（1）若 ，讨论 的零点个数；
（2）若 是函数 为 的导函数 的两个不同的零点，且 ，求证：
.
学科网（北京）股份有限公司焦作市普通高中 2023—2024 学年高三第二次模拟考试
数学·答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.答案C
命题意图本题考查一元二次不等式的解法及集合的运算.
解析由题可知 或 ，故
或 .
2.答案A
命题意图本题考查复数的几何意义及运算.
解析由题可知 ，故 .
3.答案B
命题意图本题考查二项式定理､充要条件的判定.
解析依题意， ，解得 ，故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
4.答案D
学科网（北京）股份有限公司命题意图本题考查正弦定理.
解析由题可知 ，由正弦定理可得 （ 为 的外接圆半径），所以
.
5.答案C
命题意图本题考查空间线面的位置关系､面面平行的判定定理.
解析如图，因为四棱柱 为直四棱柱， ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，故易知
，故 ，则 ，解得 ，则 .
6.答案C
命题意图本题考查三角函数的定义､三角恒等变换.
解析由题图可知， ，故
，故
.
7.答案D
命题意图本题考查椭圆的方程与性质.
学科网（北京）股份有限公司解析易知 分别为椭圆 的左､右顶点，结合椭圆的定义可知， ，
即 ，而 ，故
，故 的离心率 .
8.答案A
命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.
解析当 时， ，无最小值.当 时，若 ，则 ，所
以 无最小值.当 时， ，易知 只有一个零点 ，则 ，且
，故当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递减，在
上单调递增，则 ，而 ，则
.令 ，则 ，当
时， ，当 时， ，故 ，此时
.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分.
学科网（北京）股份有限公司9.答案AC
命题意图本题考查样本的数字特征.
解析 的平均数为 ，故A正确； 的第
25百分位数比原始数据的第25百分位数大2，故B错误；因为
，所以 ，故C正确；
的平均数为
，故D错误.
10.答案BC
命题意图本题考查三角函数的图象与性质.
解析对于 ，可知当 时，
，为偶函数，其图象关于 轴对称，故A错误；对于 ，因为 ，所以
，则 ，解得 ，因为 ，故 ，故B正确；
对于C，由题可知 的图象关于点 对称，将 代入 中，可得
，解得 ，又 ，所以 的最小值为 ，故C正确；对于 ，
由题可知 ，因为 ，所以 ，所以
，解得 ，故D错误.
11.答案ABD
学科网（北京）股份有限公司命题意图本题考查双曲线的方程与性质.
解析 的渐近线方程为 ，其中直线 与直线 相互垂直，故A正确；延
长 交直线 于点 ，则 ，
故B正确；由于点 在 上，故所求切线方程为 ，即 ，
故C错误；由题可知直线 的方程为 ，直线 的方程为
，联立方程组 得 ，则直线 的方程
为 ，将 代入 中，得 ，可以验证，点
到直线 的距离均为 ，故D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案16
命题意图本题考查平面向量的数量积.
解析以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，所以
，故 .
13.答案3
命题意图本题考查数列的前 项和与数列的通项､等差中项.
学科网（北京）股份有限公司解析当 时， ，当 时， ，故
，则 .由 ，可得 ，解得
.
14.答案-9700
命题意图本题考查函数的图象与性质.
解析因为 的图象关于点 中心对称，故 的图象关于点 中心对称.因为
，所以 .令函数 ，
则 ，即 的图象关于直线 对称.而
，故 的图象关于点 中心对称，
则4为 的一个周期， 为偶函数.因为 ，所以
，故 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.命题意图本题考查等比数列的通项公式､错位相减法.
解析（1）因为 ，
所以 ，即 ，
也即 .
因为 ，所以 .
故 .
（2）结论： .
理由如下：
由（1）可知， .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以
令 ①，
则 ②，
①-②，得 ，
则 .
故 ，故 .
16.命题意图本题考查空间线面的位置关系､向量法求空间角.
解析（1）在平面 内取一点 ，过点 作直线 .
因为二面角 为直二面角，故平面 平面 ，又平面 平面
平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
同理，过点 作直线 ，
因为二面角 为直二面角，故平面 平面 ，又平面 平面
平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 不平行，所以 不重合，又 平面 ，故 平面 .
（2）由题可知，可以 为原点，直线 分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 即 可取 .
设平面 的法向量为 ，
则 即 可取 .
由题可知 ，即 ，
解得 ，
故 .
17.命题意图本题考查二项分布及相互独立事件的概率.
解析（1）第一天比赛的总场数为4分两种情况：
①第四场甲胜，前三场甲胜两场；
②第四场乙胜，前三场乙胜两场.
故所求概率 .
（2）设决出最终冠军时比赛的总场数为 ，则 .
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
所以 .
18.命题意图本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题.
解析设 .
（1）由题可知 ，则 ，
故直线 的方程为 .
由 得 ，
由 ，可得 ，则 ，
故 .
（2）由题可知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 .
由 可得
故 .
由题可知直线 的方程为 ，与 的方程联立，可得 ，
则 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，故直线 ，
将直线 与 的方程联立，可得 ，
则 ，
故 ，
则 .
所以 ，直线 的方程为 ，
，
点 到直线 的距离为 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
故当 的面积取得最小值时，直线 的斜率为 .
19.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.
解析（1）易知 的定义域为 .令 ，可得 .
令函数 ，则 ，
令 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
而 ，
故当 或 时，直线 与 的图象无交点，即 无零点，当 或 时，
直线 与 的图象有1个交点，即 有1个零点，当 时，直线 与 的图象有
2个交点，即 有2个零点.
（2）由题可知 ，
则 是方程 的两个不同的正实根，
故 解得 .
所以 .
要证 ，
因为 在 上满足 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以即证 ，
即证 .
，
设 ，则 ，
则当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
故原不等式得证.
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