文档内容
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1
1.已知向量a =( 3,m ) ,b = −1, ，若a∥ b ，则m=（ ）
3
A.1 B.-1 C.9 D.-9
2.已知等差数列 { a } 的前n项和为S ，若a +a =1，则S =（ ）
n n 15 2010 2024
A.1012 B.1013 C.2024 D.2025
3.若虚数单位i是关于x的方程ax3 +bx2 +bx+1=0 ( a,b∈R ) 的一个根，则 a+bi =（ ）
A.0 B.1 C. 2 D.2
1
4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率
5
1 3
约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
2 8
1 7 2 7
A. B. C. D.
5 16 5 8
2 3 4 10
x x x x
5. +1 + +1 + +1 ++ +1 的展开式中含x项的系数为（ ）
2 3 4 10
A.9 B.10 C.18 D.20
1,x>0
6.已知函数sgn(x)= 0,x=0 ，则“sgn ( ex −1 ) +sgn (−x+1 )=0”是“x>1”的.（ ）
−1,x<0
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在同一平面上有相距14公里的A,B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮
弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司θ
改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M ，则B炮台与弹着点M 的距离为（ ）
2
A.7公里 B.8公里 C.9公里 D.10公里
8.将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同
的分组方法数是（ ）
A.2 ( C7 )2 B.2C7C7 C.2C6C7 D.2 ( C7 )2
13 13 14 14 14 14
二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
2
9.已知函数 f ( x )= +a ( a∈R )，则（ ）
2x −1
A. f
(
x
)
的定义域为
(−∞,0 )∪( 0,+∞)
( )
B. f x 的值域为R
( )
C.当a=1时， f x 为奇函数
D.当a =2时， f
(−x )+
f
(
x
)=2
10.下列结论正确的是（ ）
A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点 ( x ,y ) 都在直线y =0.95x+1上，则这组样本数据的样本相关
i i
系数为0.95
B.已知随机变量ξ∼ N ( 3,4 ) ，若ξ=2η+1，则D (η)=1
C.在2×2列联表中，若每个数据a,b,c,d 均变成原来的2倍，则χ2也变成原来的2倍
n(ad −bc)2
（χ2 = ，其中n=a+b+c+d ）
( a+b )( c+d )( a+c )( b+d )
D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A=“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B=“2枚骰子正面向上
的点数相同”，则A,B互为独立事件
11.已知圆C:x2 + y2 −10x+13=0，抛物线W : y2 =4x的焦点为F,P为W 上一点（ ）
A.存在点P，使PFC为等边三角形
B.若Q为C上一点，则 PQ 最小值为1
C.若 PC =4，则直线PF 与C相切
D.若以PF 为直径的圆与C相外切，则 PF =22−12 3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12.集合A={x∣lgx<1},B=x >1，则A∩ B =__________.
x R
x2 y2 ( )
13.已知F,F 是双曲线C: − =1(a >0,b>0)的左､右焦点，点P 3t,t (t >0)在C上.
1 2 a2 b2
tan∠FF P=2+ 3，则C的离心率为__________.
1 2
14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠
的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的
高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠
1
的高是h，球冠的表面积公式是S =2πRh，与之对应的球缺的体积公式是V = πh2( 3R−h ) .如图2，已知
3
π
C,D是以AB为直径的圆上的两点，∠AOC =∠BOD= ,S =6π，则扇形COD绕直线AB旋转
3
扇形COD
一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________（本题第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
( )
已知向量a =( cosx,2sinx ) ,b = 2cosx, 3cosx ，函数 f ( x )=a⋅b.
11 π π
（1）若 f ( x )= ，且x ∈ , ，求cos2x 的值；
0 5 0 6 3 0
π
( )
（2）将 f x 图象上所有的点向右平移 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原
6
1 π π 1
来的 ，得到函数g ( x ) 的图象，当x∈ − , 时，解不等式g ( x ) .
2 6 3 2
16.（15分）
某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如
下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步
骤，当参加游戏的学生位于第8､第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.，
（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X 级台阶，求X 的分布列及数学期望E(X)；
（2）甲､乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
17.（15分）
如图，在直三棱柱ABC−ABC 中，AB= BC =2,AA =3，点D,E分别在棱AA,CC 上，
1 1 1 1 1 1
AD=2DA,C E =2EC,F为BC 的中点.
1 1 1 1
（1）在平面ABB A 内，过A作一条直线与平面DEF 平行，并说明理由；
1 1
（2）当三棱柱ABC−ABC 的体积最大时，求平面DEF 与平面ABC夹角的余弦值.
1 1 1
18.（17分）
已知函数 f ( x )= x2( lnx+a ) .
（1）若a=1，求曲线y = f ( x ) 在点 ( 1, f ( 1 )) 处的切线方程；
( )
（2）讨论 f x 的单调性；
1
（3）若存在x ,x ∈( 0,+∞) ，且x < x ，使得 f ( x )= f ( x ) ，求证： >e2a+1 .
1 2 1 2 1 2 x x
1 2
19.（17分）
动圆C与圆C :(x+2)2 + y2 =50和圆C :(x−2)2 + y2 =2都内切，记动圆圆心C的轨迹为E.
1 2
（1）求E的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2 +2Bxy+Cy2 +2Dx+2Ey+F =0，则曲线上
一点 ( x ,y ) 处的切线方程为：Ax x+B ( x y+ y x )+Cy y+D ( x +x )+E ( y + y )+F =0，试运用该性
0 0 0 0 0 0 0 0
质解决以下问题：点P为直线x=8上一点（P不在x轴上），过点P作E的两条切线PA,PB，切点分别
为A,B.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（i）证明：直线AB过定点；
（ii）点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B交x轴于点M ，设AC M,BC M 的面积分别为S ,S ，求
2 2 1 2
S −S 的最大值.
1 2
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