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高一第二学期数学期中考试
注意事项:
1.时间为120分钟，满分150分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的
答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 复数z满足 ，则z的共轭复数为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算与复数模的计算，求出复数 ，再利用共轭复数的定义求解即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
故 的共轭复数为 ．
故选： ．
2. 如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形，其直观图是一个底角为45°，腰长为 ，上底为1
的等腰梯形，那么原平面图形的最长边长为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】【分析】把直观图还原出原平面图形，根据直观图与平面图形数据之间的关系即可求解.
【详解】把直观图还原出原平面图形，则这个平面图形是直角梯形，
所以 ， ， ， ，
所以原平面图形的最长边长为 ，
故选：B．
3. 设平面向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由 可得结果.
【详解】由 得 ，解得 .
故选：C.
4. 如图所示，平行四边形 中， ，点F为线段AE的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得 ， ， ，化简计算即可得出结果.
【详解】 .
故选：C.
5. 某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为 ， ， ， ，只有通过前一关才能进入
下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关
的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率.
【详解】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以 ,
第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，
所以 .
所以该选手能进入第四关的概率为 .
故选D
【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平和分析推理能力.
6. 在△ 中， ，则△ 的形状一定为（ ）
A. 等边三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理的边角关系，结合已知可得 ，即可知△ 的形状.
【详解】由余弦定理知： ，整理得 ，
是
∴△ 直角三角形.
故选：C
7. 已知圆锥 顶的点和底面圆周都在球 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为 ，则球 的
表面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图
形求得球半径，从而可得球表面积．
为
【详解】设圆锥母线 ，底面半径为 ，
则 ，解得 ，
如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆，设球半径为 ，
， ，
， ，
所以球表面积为 ．故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可
以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆
台）的量之间的关系．
8. 如图，在三棱锥 中， ，且 ，E，F分别是棱 ， 的中点，则EF和
AC所成的角等于
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则 为EF与AC所成的角．解 ．
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，
， ，
且 ， ．
为EF与AC所成的角．
又 ， ．
又 ， ， ，
为等腰直角三角形，
，即EF与AC所成的角为45°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解
三角形，属于基础题．
二、多择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在给出的四个选项中有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下四种说法正确的是（ ）
A.
B. 复数 的虚部为
C. 若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限
D. 复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数【答案】AD
【解析】
【分析】由复数的运算判断A；由复数的代数形式判断B；由复数的几何意义判断C和D.
【详解】 ，故A正确；
复数 的虚部为 ，故B错误；
，复数 对应的点 在虚轴的正半轴上，故C错误；
复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数，故D正确.
故选：AD.
10. 一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件
“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2个小球不全为红球
B. 2个小球恰有1个红球
C. 2个小球至少有1个红球
D. 2个小球都为绿球
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥事件与对立事件的定义可得答案.
【详解】从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，这两个球可能为
2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情
况，
则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有
B，2个小球恰有1个红球； C，2个小球都为绿球，
而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；
2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色.
故选：BD .
11. 已知两条直线m，n，两个平面α，β．下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A、B：线面的位置关系直接判断；对于C：利用线面垂直的判定定理证明出 ；对于
D：由面面平行的性质证明出 .
【详解】对于A：若 ，则 或 .故A错误；
对于B：若 ，则 或 异面.故B错误；
对于C：因为 ，所以 内任意直线.
在平面 内取两条相交直线 ，则 且 .
因为 ，所以 ， .
又 为平面 内两条相交直线，所以 .故C正确；
对于D：由选项C的证明可知： .
因为 ，所以 .故D正确.
故选：CD
12. (多选题)如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱CC 上的动点(点P不与点C，C 重
1 1
合)，过点P作平面 分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）A. AC⊥平面
1
B. 存在点P，使得AC ∥平面
1
C. 存在点P，使得点A 到平面 的距离为
1
D. 用过点P，M，D 的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
1
【答案】ACD
【解析】
【分析】连接 ，首先证明 平面 ，然后由 ⊥平面 可判断A，
由 平面 可判断B，由点A 到平面 的距离的取值范围为 可判断C，过点
1
P，M，D 的平面去截正方体得到的截面是四边形 ，可判断D.
1
【详解】
连接因为 ，所以 ＝ ，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面
同理可证 ， 平面
又 ， 、 平面 ，所以平面 平面
易证 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，A正确
又 平面 ，所以 与平面 相交，不存在点P，使得 ∥平面 ，B不正确.
因为 ，点 到平面 的距离为
所以点A 到平面 的距离的取值范围为
1
又 ，所以存在点P，使得点A 到平面 的距离为 ，C正确.
1
因为 ，所以 ，所以用过点P，M，D 的平面去截正方体得到的截面是四边形
1
又 ，且 ，所以截面为梯形，D正确
故选：ACD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 ，且 ，若A，B，C三点共线，则实数x
的值为_________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据三点共线的位置关系列出向量等式，结合向量的坐标表示求解答案.
【详解】 A，B，C三点共线，可设
由 得：A，B，C三点共线，可设
故答案为：3.
14. 若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】因为 在复平面内对应的点 在第二象限，
故 ，解得 .
故答案为： .
15. 在 中， ， ， ，延长 到 ，使得 ，则 的
长为______．
【答案】7
【解析】
【分析】在 中直接利用正弦定理求 ，然后求出 ，然后在 中利用余弦定理求解即
可.
【详解】如图所示，在 中，由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得，
.
故答案为：7.
16. 已知长方体 中， ， ， 与平面 所成角的正弦值为
，则该长方体的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】作 ，垂足为E，连接 ，BE，证得 是 与平面 所成的平面角，
进而可以求出 的长度，然后根据长方体的对角线是其外接球的直径，进而可以求出球直径，从而结合
球的表面积公式可以求出结果.
【详解】作 ，垂足为E，连接 ，BE，因为 平面 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，又因为平面 平面 ， 平面ABC，所以 平面
，因此 是 与平面 所成的平面角.
又 ， .
∴ ，解得 .
故该长方体的体对角线为 .设长方体的外接球的半径为 ，则 ，解得
.
∴该长方体的外接球的表面积为 .
故答案为： .
四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17. 已知复平面内复数 ， ， 所对应的点分别为 ， ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ．【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据复数在复平面内的坐标得到复数 ， ， ，再根据复数代数形式的运算法则计
算可得；
（2）首先求出 ， ，再根据向量的夹角公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为复平面内复数 ， ， 所对应的点分别为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
【小问2详解】
解：因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以
18. 某学校6月份定为安全教育宣传月，6月底进行安全教育测试，试卷满分为120分，随机抽取了100名
学生的试卷进行研究，得到成绩的范围是 （单位：分），根据统计数据得到如下频率分布直方图：（1）求 的值；
（2）估计该校安全教育测试成绩的中位数（精确到小数点后两位）；
（3）若成绩在 赋给1颗星， 赋给2颗星， 赋给3颗星，将频率视作概率，
若甲乙两位同学参赛且相互不影响，求两个一共得4颗星的概率．
【答案】（1） ；（2）中位数为86.43分；（3）0.0436.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1，求 的值；（2）利用中位数公式，列式求中位数；（3）设甲得到“星”的
颗数为 ，乙得到“星”的颗数为 ，分别求 和 ，再求 .
【详解】解：
（1）由 得 ．
（2）第一、二、三组的频率分别为0.16，0.16，0.28，
设中位数为 ，则 ．解得 ．
所以估计该校安全教育测试成绩的中位数为86.43分．
（3）设甲得到“星”的颗数为 ，乙得到“星”的颗数为 ．
， ， ；
且 且 且
甲乙两位同学一共得4颗星的概率为0.0436．19. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，把条件等式化成角，再用两角和的正弦公式，即可求出 ，进而求出 ；
（2）面积公式结合余弦定理，即可求出 .
【详解】解析：（1） ，
由正弦定理， ，
即
所以 .
所以 .
所以 ，
，
（2） ， ，
由余炫定理， ，
即 ，则 .
20. 如图，在正方体 中，点 是 的中点．
（1）求证： 平面 ;
（2）求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连结 交 于点 ，连结 ,利用中位线定理和线面平行的判定定理证明；
（2）先由正方体的结构特征得到 ， ，再利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面
BDD B，即可得证.
1 1
【详解】（1）连结 交 于点 ，
连结 可知 ,
因为OE 平面CEA，BD 1⊄平面CEA，
所以BD⊂//平面CEA；
1（2）在正方形 中有 ，
正方体中有BB⊥平面ABCD,
1
因为AC 平面ABCD，所以 ，
⊂
又因为 ，
所以AC⊥平面BDD B，
1 1
因为BD 平面BDD B，
1 1 1
⊂
所以 .
21. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， 平面
， ， .
（1）证明： 平面PAC；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）证明 ，即可由线线垂直证明线面垂直；
（2）利用等体积法，结合棱锥体积的计算公式，即可求得结果.
【小问1详解】底面 为直角梯形， ， ，故可得 ，
又 ，则 ，易知 ，
故 ，则 ；
又 面 面 ，故 ；
又 面 ，故 面 .
【小问2详解】
由（1）知 面 ，又 面 ，故 ，
又 面 面 ，故 ，则 ，
又 ，则 ；
因为 面 ，故点 到面 的距离为 ，也即点 到面 的距离为 ；
又 ，
设点 到面 的距离为 ，则由 可得：
，则 ，解得 ，
故点 到面 的距离为 .
22. 如图，在直三棱柱 中，点 ， 分别是 与 的中点．（1）求证：平面 ∥平面 ；
（2）若 ， ， ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）通过辅助线 ，可分别证明 ∥平面 与 ∥平面 ，再通过面面平行的判
定定理即可证明；
（2）根据条件求解出 的值，然后利用面积公式可求 ，通过将棱锥的顶点换成 计算三棱锥
的体积.
【详解】（1）证明：连结 ．
∵在直三棱柱 中，点 ， 分别是 与 的中点．
∴ ∥ 且 ，∴四边形 是平行四边形．
∴ ∥ 且 ，
又∵ ∥ 且 ，∴ ∥ 且 ．
∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ．
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ．
同理可证： ∥平面 ．又∵ ， ， 平面 ，
∴平面 ∥平面 ．
（2）解：在 中， ， ， ，
由余弦定理可知
又因为 ，所以 ．
所以
又∵在直三棱柱 中， 平面 ．
∴ ．
【点睛】（1）证明线面、面面平行时，注意辅助线的用处，经常会用到三角形中位线、不相邻两边中点
间连线等辅助线；
的
（2）计算锥体体积时，要注意待计算 三棱锥的顶点是可以更换的，有时能很大程度上简化计算，需要
注意.
