文档内容
第二学期期中考试
高一数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡的相应位置上.
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作
答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设 是虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件求出复数 ，利用复数的模的公式可求得 .
【详解】 ， ，
因此， .
故选：C.
.
2 已知向量 ， ， ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】先求出 ，再结合 ，通过数量积的坐
标运算求 即可.
【详解】由题意知： ，由
可得 ，即 ，又 ，解得 .
故选：A.
3. 已知i为虚数单位，复数 ，则 （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】先由复数的除法运算计算出 ，再按照乘方运算计算即可.
【详解】 ，则 ，
， ，故
.
故选：C.
4. 下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是
高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.
【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：
，解得： ，所以其内切圆半径为 .
由三棱锥体积与圆柱体积公式可得： .
故选：D.
5. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ ）
A. 相等的线段在直观图中仍相等 B. 水平放置的三角形的直观图仍是三角形
C. 相等的角在直观图中仍相等 D. 水平放置的菱形的直观图仍是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】由如图所示正方形及直观图即可判断A、C、D选项；结合斜二测画法的定义判断B选项.
详解】
【
如图所示为正方形 及其直观图 ，显然 ，A错误；
，C错误；
正方形是特殊的菱形，直观图为平行四边形，D错误；水平放置的三角形的直观图仍是三角形，B正确.
故选：B.
6. 已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，利用侧面展开图得到 ，然后由侧面积公式，列式求
解 即可.
【详解】解：设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，
所以 ，则 ，又圆锥的表面积为 ，则 ，
解得： .
故选：B.
7. 若正四面体的表面积为 ，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出正四面体的棱长，将正四面体补成正方体，计算出正方体的棱长，即可求得正四面体的体
积.
【详解】设正四面体 的棱长为 ，则该正四面体的表面积为 ，可得 .
将正四面体 补成正方体 ，则正方体 的棱长为 ，
所以， .
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司8. 在 ABC中，点P在边BC上，且 ，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点
△
M，N，若 ， ，则下列关系式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由向量的线性运算得到 ，结合 ， 得到
，由 三点共线即可求解.
【详解】
由题意知： ，又 ，
，
即 ，由 三点共线，可得 ，即 .
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 设复数 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 若复数z满足 ，则 的最大值为6
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的相关概念判断A、B、C，设 ， ，根据复数模的几何意义求出
的最大值；
【详解】解：复数 的虚部为 ，共轭复数为 ，
在复平面内所对应的点的坐标为 位于第四象限，故A错误，B、C正确；
设 ， ，由 ，即 ，
则 表示圆上 上的点 到点 的距离，
因为 ，所以 ，即 的最大值为 ，故D正确；
故选：BCD
10. ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
△
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】AC
【解析】
【分析】由正弦定理依次判断4个选项中三角形解的个数即可.
【详解】对于A，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，又 ，
只有一解，正确；
学科网（北京）股份有限公司对于B，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，又 ，有两解，错误；
对于C，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，又 ，只有一解，
正确；
对于D，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，无解，错误.
故选：AC.
11. 如图，正方形 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面
四边形OABC有（ ）
A. 图形为矩形 B. 周长为8 C. 边OC的长度为2 D. 面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】还原出原图，根据直观图与原图的长度关系，即可求得 ， 的值，代入公式，即可得答案.
【详解】把直观图 还原为原图形 ，如图所示，所以原图形 为平行四边形，故A错；
学科网（北京）股份有限公司根据题意， ， ， ，平面四边形OABC的周长为：
，故B正确，C错误；
所以平行四边形 的面积 ，故D正确.
故选：BD.
12. ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是 ABC的外接圆半径，则（ ）
△ △
A.
B. 若 ，则
C.
D. 点G在 ABC所在平面内，若 ，则G是 ABC的外心
△ △
【答案】AC
【解析】
【分析】在三角形中，由正弦定理、余弦函数的单调性可判断A，由正弦函数的性质及三角形中角的范围
可判断B，根据三角恒等变换及正弦定理可判断C，由向量的运算及重心的性质可判断D.
【详解】 ABC中, ，
△
,
当 ， ，
学科网（北京）股份有限公司当 ， ，
当 时， ，综上， ，故A正确；
ABC中， 或 ，所以 或 ，故B错误；
△
由正弦定理 ,
，故C正确；
设 是 的中点，由 可得 ，即 ， 是△ABC的重心，
故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知复数 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据共轭复数的概念，先得到 ，再由复数的乘法运算，即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
因此 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查共轭复数的相关计算，属于基础题型.
14. 已知复数 为纯虚数，若 （其中 为虚数单位），则实数 的值为___________.
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简 ，再根据实部等于 虚部不等于 即可求得 的值.
【详解】由 可得 ，
若 为纯虚数，则 可得 ，
故答案为： .
15. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量 __________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由投影向量的公式求解即可.
【详解】由题意知： 在 上的投影向量 .
故答案为： .
16. 水平桌面上放置了三个半径为6的球，这三个球两两相切，在三个球共同的下方再放置一个小球，小
球与原来的三个球以及桌面都相切，则小球的半径为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】先判断出三个球的球心与桌面的三个切点构成了正三棱柱 ，作出小球球心 在上
下底面的投影，通过相切求出 及 ，再通过勾股定理解出半径即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】
设三个半径为6的球球心分别为 ，与桌面的三个切点分别为 ，则三棱柱
是一个底面边长为12，高为6的正三棱柱，
小球球心 在平面 上的投影必为 的中心 ，在平面 上的投影必为 的中心 ，
连接 并延长交 于 ，
则 为 中点，设小球半径为 ，在 中，由小球与原来的三个球以及桌面都相切可得
， ，则 ，
，则 ，即 ，解得
.
故答案为：2.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量 与 的夹角为60°， ， ，求
（1） ；
（2） 与 ；
（3） 与 的夹角θ．
【答案】（1）4 （2） ，
（3）
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）直接由数量积的定义计算即可；
（2）先计算出 ， ，再计算 与 即可；
（3）先计算出 ，再由夹角公式计算余弦值，进而求得夹角θ．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
， ，
， ．
【小问3详解】
， ，
又 ，则 ．
18. 已知关于x的实系数一元二次方程 有两个虚根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若 ，求m的值及 ．
【答案】（1）
（2）1，
【解析】
【分析】（1）根据 列出不等式求解即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据韦达定理可求出 的值，然后表示出 ，代入即可求解.
【小问1详解】
由已知得 ，
则 ．
【小问2详解】
由 知 ，
则 ．
由 得 ，
则 ，
故 ．
19. 位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴典雅的八
角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如
图所示的数学模型三棱锥C–OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表凤凰亭的上顶点，A，B两点代表山脚
地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测
点之间的距离AB为90米．（附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直
线．）
（1）求 ；
（2）同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出 ，求山高的近似值OC．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2）90米.
【解析】
【分析】（1）在 与 中，求出AC，BC与OC的关系，再利用正弦定理计算作答.
（2）在 中，利用余弦定理列方程，求解并验证作答.
【小问1详解】
在 中，由 得 ，在 中，由 得 ，
在 中，利用正弦定理得： ，所以 ．
【小问2详解】
在 中，利用余弦定理得： ，
即 ，化简为 ，
解得 ，或 ，当 时， ，与 为钝角矛盾，经验证
符合条件，
所以山高的近似值OC为90米.
的
20. 如图，在边长为4 正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点， ， ，
， ，垂足分别是D，H，G，将 ABC绕AD所在直线旋转180°．
△
（1）由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V，当E，F分别为边AB，AC的中点时，求V；
学科网（北京）股份有限公司（2）由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S，当E，F分别在什么位置时，S最大？
【答案】（1）
（2）E，F分别为AB，AC的中点时S最大
【解析】
【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公
式计算可得；
（2）设 ， ，表示出 ，则旋转图的侧面积 ，再利用基本不等式计
算可得；
【小问1详解】
解：由圆锥与圆柱的定义可知，将 绕AD旋转180°，
阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为 ，圆柱的底面半径
为1，高为 ．
因此阴影部分形成的几何体的体积为 ．
【小问2详解】
解：设 ， ，则 ， ，
此时 ，．
当且仅当 时等号成立，即E，F分别为AB，AC的中点时S最大．
21. ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
△
（1）求B；
（2）若 ，求b的取值范围．
【答案】（1）
学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及 得 ，进而得到 ，
即可求出 ；
（2）由余弦定理结合基本不等式即可求出b的取值范围．
【
小问1详解】
由正弦定理及 可得 ，又 ，
则 ，即 ，
则 ，因为 ，所以 ， ，因为 ，
所以 ．
【小问2详解】
由余弦定理得 ，因为 ， ，所以 ，当且仅
当 时取等号．
又因为 ，所以 ．综上所述， ，b的取值范围是 ．
22. 某公园规划一个三角形的草坪区域，如图，AB长50米，BC长80米，AC长70米，中间需要设计一条
长为100米的雨花石折线小路BPC（点缀在草坪内部，不影响草坪面积）．
（1）求∠ABC及 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）当点P在什么位置时，小路内侧草坪（ PBC）的面积最大？求出最大值．
△
【答案】（1） ，
（2）点P在草坪△ABC内部，最大值可以取到1200平方米
【解析】
【分析】（1）先由余弦定理求出 ，再由正弦定理可求得 .
（2）设 ， ，则 ，设 ，由余弦定理得 ，
两式联立求解可得 ，则 ，再结合题意求得 的范围，即可求出 PBC的
△
面积最大.
【小问1详解】
由余弦定理得： ，则 ，
由正弦定理得 ，
可得 ．
【小问2详解】
设 ， ，则 ．①
设 ，由余弦定理得 ，②
由①2-②得 ，即 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 “ ”时取等，且 ．
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
设 ， ，则 ， ，且 ，
于是当 时， 取得最大值1200平方米．
此时， ， ．
由（1）知 ，则 ．
此时，点P在草坪△ABC内部，最大值可以取到1200平方米．
学科网（北京）股份有限公司
