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高一数学期中考试
命题人：夏俊东 审题人：王进
一、单选题（选对得5分，选错得0分）
1. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出 .
【详解】
故选：A
2. 已知 ､ 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】判断各选项向量组是否共线即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 和 共线，所以 和 不能
作为基底.
故选：B.
3. 已知直线 和平面 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 // ， ，则 //
C. 若 // ， ， ，则 // D. 若 // ， // ，则 //
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据线面平行的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对 ：若 // ， // ，则 // 或 ，故 错误；
对 ：若 // ， ，则 // 或 ，故 错误；
对 ：若 // ， ， ，则 // ，故 正确；
对 ：若 // ， // ，则 可以平行，可以相交，也可以是异面直线，故 错误；
故选： .
4. 已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆锥的结构特征求出底面半径、高，再应用圆锥的体积公式求体积.
【详解】由题意，圆锥的底面半径 ，圆锥的高 ，
所以圆锥的体积 .
.
故选：A
5. 如图， 是水平放置的 的直观图， ， ，则 的面
积为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法还原平面图，然后计算可得.
【详解】根据斜二测画法还原平面图如图，则 .
故选：C
6. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A. 150° B. 105° C. 135° D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理求出中间的角可得结论．
【详解】设边长为7的边所对角为 ，则 ， 是三角形内角，所以 ，
的
因此三角形中最大角与最小角 和是 ．
故选：D．
7. 在三棱锥 中， ，则三棱锥 外接
球的表面积是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理证得 ，再根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，故三棱锥
的外接球在过底面 外接圆圆心且垂直于底面 的直线上，利用正弦定理求得
外接圆的半径为 ，再根据三棱锥 外接球的半径为 求出外接球半径，即可得出答案.
【详解】解：由 ，
可得 ，所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故三棱锥 的外接球在过底面 外接圆圆心且垂直于底面 的直线上，
由正弦定理，可得 外接圆的半径为 ，
所以三棱锥 外接球的半径为 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ，
即三棱锥 外接球的表面积为 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司8. 如图，扇形的半径为1，且 ，点C在弧 上运动，若 ，则 的最
大值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将 ，两边同时平方可得 ，再三角代换
，利用三角函数的值域求法即可解出．
【详解】由题意得， ， ， ，
由 ，等式两边同时平方，得 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，令 ，则 ，
则 ，其中 ，因为
，所以 ，所以 ，即 的最大值为 .
故选：B．
二、多选题（选对得5分，选错得0分，选不全得2分）
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若存在实数 ，使得 ，则
B. 若 ，则若存在实数 ，使得
C. ， 为非零向量，若 ，则 与 方向相同
D. 已知长度相等的三个非零向量 、 、 满足 ，则 是等边三角形．
【答案】ACD
【解析】
【分析】可以证明选项ACD正确，举反例说明选项B不正确，即得解.
【详解】A. 若存在实数 ，使得 ，则 , 所以该选项正确；
B. 若 ，则不一定存在实数 ，使得 ，如 是非零向量， 是零向量，则不存在实数 ，使
得 ，所以该选项不正确；
C. ， 为非零向量，若 ，所以 ，所以
，则 与 方向相同，所以该选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司D. 已知长度相等的三个非零向量 、 、 满足 ，则 是等边三角形．如
图所示，设 中点为 ,连接 并延长到 ,使 连接 .显然四边形 是平行四
边形，因为 ,所以四边形 是菱形，因为 所以 ,所以
三点共线，所以 ,所以 同理 所以 ,所以 是等边
三角形．所以选项D正确.
故选：ACD
10. 在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有（ ）
A. 若 ， 是两个复数，则 一定是实数
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 方程 的根是
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的运算以及和复数有关的定义分别判断即可．
【详解】解：设 ， ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，故A正确；
设 ， ，
当 时，由 则 ，所以 ，若 得不到 ，
当 时，若 ，
则 ，
“ ”是“ ”的充分不必要条件，故B正确；
方程 的根是 ，故C正确；
是复数， 可能是复数，但 是复数的模，一定是实数，
如 ，则 ，但是 ，故D错误；
故选：ABC．
11. 如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A. 直线 与 为异面直线
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学科网（北京）股份有限公司B. 平面
C.
D. 三棱锥 的体积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据异面直线的定义，线面平行，垂直的判定定理，几何体的体积求解方法依次讨论各选项即可
得答案.
【详解】解：对于A，直线 平面 ， 平面 ， 直线 ，则易得直线
与 为异面直线，故A正确；
对于B，因为 平面 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
对于C，连接 ，因为正方体 中， ，所以
平面 ，所以 ，故C正确；
对于D，三棱锥 的体积 ，故D错误．
故选:ABC.
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学科网（北京）股份有限公司12. 在棱长为3的正方体 中，M是 的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法
正确的是（ ）
A. 存在点N，使得
B. 三棱锥M— 的体积等于
C. 有且仅有两个点N，使得 平面
D. 有且仅有三个点N，使得N到平面 的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A，取N为 的中点时判断即可
对B，根据 计算即可；
对C，取 分别为 中点可得 平面 ， 平面 判断即可；
对D，根据正方体的性质可知 与平面 ，平面 均垂直，且被两平面平分为3段可得点
四点到平面 的距离为
【详解】对于A，当N为 的中点时，易得 ，又 ，故 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，如图所示 分别为 中点，有 平面 ， 平面 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，易证 平面 ， 平面 ， 分别交平面 ， 于 ，则
，所以有点 四点到平面 的距离为 ，故D错．
故选：ABC
三、填空题（做对得5分，做错得0分）
13. 已知向量 ，且 ，则 和 的值_________
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量的坐标运算，代入可得： ，解方程即可得出答案.
【详解】因为 ， ，所以
，所以 ，解得： .
故答案为：
14. 已知圆锥的高为 ，体积为 ，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径 ，利用勾股定理可得母线长 ；根据球的表面积公式可求
得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
圆锥体积 ， ， ，
以 为半径的球的表面积 .
故答案为： .
15. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC
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学科网（北京）股份有限公司与BD所成的角为90°，则MN＝________.
【答案】5
【解析】
【分析】取AD的中点P，连接PM、PN，∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，解△MPN即可.
【详解】取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝ AC＝4，PM＝ BD＝3，
∴MN＝5.
故答案为：5.
16. 如图，在直三棱柱 中， 是边长为2的正三角形， ，M为 的中点，P
为线段 上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）
① 平面 ②三棱锥 的体积的取值范围为
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学科网（北京）股份有限公司③ 与 为异面直线 ④存在点P，使得 与 垂直
【答案】②③
【解析】
【分析】由勾股定理求出 、 、 ，即可判断①，由 即可判断②，
根据异面直线的定义判断③，设 中点为N，即可得到 平面 ，即 平面 ，得出矛
盾，即可判断④；
【详解】解：由题意得 ．则
， ，
所以 与 不垂直．故①错误；
，点B到平面 的距离为 ，
由 ，所以 ，所以 ，
又 ，则 ，
故②正确；
的
P为线段 上 点（不包括端点），故 与 为异面直线，故③正确；
为
若 ，设 中点 N，所以 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，则 平面 ，即 平面 ，
又因为 平面 ，故点P与点 重合，不合题意，故④错误．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：②③
四、解答题
17. 如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的
直径为5 cm，求该组合体的体积和表面积
【答案】体积为1200＋ （cm3），表面积700＋ （cm2）．
【解析】
【分析】利用长方体和球的体积公式、表面积公式进行求解即可.
【详解】根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得
V ＝10×8×15＝1200（cm3），
长方体
又V ＝ ，
半球
所以所求几何体体积为：
V＝V ＋V ＝1200＋ （cm3）．
长方体 半球
因为S ＝2×（10×8＋8×15＋10×15）＝700（cm2），
长方体全
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学科网（北京）股份有限公司故所求几何体的表面积S ＝S ＋S －S
表面积 长方体全 半球 半球底
＝700＋
＝700＋ （cm2）．
18. 已知向量 .
（1）若 ，求 ；
（2）若向量 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） 且 .
【解析】
【分析】(1)根据向量共线的坐标表示即可求出k，根据向量模长公式即可计算；
(2)若向量 与 的夹角是钝角，则 ＜0且 与 不反向，根据数量积即可运算.
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ .
【小问2详解】
∵ 与 的夹角是钝角，
∴ ，且 与 不反向，
即 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 且 .
19. 已知复数 和它的共轭复数 满足 ．
（1）求z；
（2）若z是关于x的方程 的一个根，求复数 的模．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）设 ，根据复数代数形式的运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，
解得即可；
（2）将 代入已知方程，利用复数代数形式的乘法运算及复数为 的充要条件得到方程，即可求
出 、 ，再代入 ，利用复数除法运算法则化简，从而求出其模；
【小问1详解】
解：设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ；
【小问2详解】
解：将 代入已知方程可得 ，
即 ，整理可得 ，
所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 ，
故复数 的模为1．
20. 已知 的内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解作答.
（2）利用余弦定理结合均值不等式求出 的最大值，再由面积定理求解作答.
【小问1详解】
在 中， ，由 及正弦定理得： ，
即 ， ，
于是得 ，又 ，即 ，则 ，因 ，
所以 .
【小问2详解】
，由余弦定理得： ，当且仅当 时取“=”，
因此， ，于是得 ，当且仅当 时取“=”，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的面积的最大值为 .
21. 在三棱锥 中， 底面ABE，AB⊥AE， ，D是AE的中点，C是线
段BE上的一点，且 ，连接PC，PD，CD.
（1）求证： 平面PAB；
（2）求点E到平面PCD的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明 来证得 平面 .
（2）通过等体积法求得点E到平面PCD的距离.
【小问1详解】
因为 ，所以 .
又 ， .
所以在 中，由勾股定理，得 .
因为 ，所以 是 的斜边BE上的中线.
所以C是BE的中点.
的
又因为D是AE 中点，所以直线CD是 的中位线，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
又因为 平面PAB， 平面PAB，所以 平面PAB.
【小问2详解】
由（1）得， .
又因为 ， .
所以 .
又因为 ，所以 .
由题意得 ，且 ，所以 .
设点E到平面PCD的距离为d，则由
得 ，即 ，解得 .
故点E到平面PCD的距离为 .
22. 重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前
点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达 点.小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米
后到达陶行知纪念馆 点，后又沿着南偏西 的方向行走到达国旗杆下 点，经过测量发现
.设 ，如图所示.
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学科网（北京）股份有限公司（1）设国旗杆底 点到行知大道的最短距离为 ，请用 表示 的解析式；
（2）求小王走过的路程 的最大值.
【答案】（1）
（2） 米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出 ，再由正弦定理可表示出 ，再结合
与 即可得出答案.
（2）利用正弦定理表示出 与 ，即可化简求出 的最大值.
【小问1详解】
由已知得 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 .
又因为 ，且 ，所以
.
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
在 中，由正弦定理得 ，
，
于是 .
因为 ，所以当 时， 取得最大值 米.
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学科网（北京）股份有限公司第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
