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第二学期期中考试
高一数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡的相应位置上.
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作
答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设 是虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ， ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知i为虚数单位，复数 ，则 （ ）
.
A B. C. D. 0
4. 下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是
高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 相等的线段在直观图中仍相等 B. 水平放置的三角形的直观图仍是三角形
C. 相等的角在直观图中仍相等 D. 水平放置的菱形的直观图仍是菱形
6. 已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
7. 若正四面体的表面积为 ，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在 ABC中，点P在边BC上，且 ，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点
△
M，N，若 ， ，则下列关系式成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
.
9 设复数 ，则（ ）
A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 若复数z满足 ，则 的最大值为6
的
10. ABC中，a，b，c分别为角A，B，C 对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
△
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
11. 如图，正方形 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面
四边形OABC有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 图形为矩形 B. 周长为8 C. 边OC的长度为2 D. 面积为
的
12. ABC中，a，b，c分别为角A，B，C 对边，R是 ABC的外接圆半径，则（ ）
△ △
A.
B. 若 ，则
C.
D. 点G在 ABC所在平面内，若 ，则G是 ABC的外心
△ △
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知复数 ，则 __________．
14. 已知复数 为纯虚数，若 （其中 为虚数单位），则实数 的值为___________.
15. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量 __________．
16. 水平桌面上放置了三个半径为6的球，这三个球两两相切，在三个球共同的下方再放置一个小球，小
球与原来的三个球以及桌面都相切，则小球的半径为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量 与 的夹角为60°， ， ，求
（1） ；
（2） 与 ；
（3） 与 的夹角θ．
18. 已知关于x的实系数一元二次方程 有两个虚根α，β．
的
（1）求m 取值范围；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求m的值及 ．
19. 位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴典雅的八
角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如
图所示的数学模型三棱锥C–OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表凤凰亭的上顶点，A，B两点代表山脚
地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测
点之间的距离AB为90米．（附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直
线．）
（1）求 ；
（2）同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出 ，求山高的近似值OC．
20. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点， ， ，
， ，垂足分别是D，H，G，将 ABC绕AD所在直线旋转180°．
△
（1）由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V，当E，F分别为边AB，AC的中点时，求V；
（2）由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S，当E，F分别在什么位置时，S最大？
学科网（北京）股份有限公司21. ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
△
（1）求B；
（2）若 ，求b的取值范围．
22. 某公园规划一个三角形的草坪区域，如图，AB长50米，BC长80米，AC长70米，中间需要设计一条
长为100米的雨花石折线小路BPC（点缀在草坪内部，不影响草坪面积）．
（1）求∠ABC及 ；
（2）当点P在什么位置时，小路内侧草坪（ PBC）的面积最大？求出最大值．
△
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