文档内容
期中检测卷 03
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知向量 ＝（x，2）， ＝（1，﹣1），且 ∥ ，则 • ＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4
2.已知复数z＝（2+i）i，其中i为虚数单位，则下列说法中，错误的是（ ）
A．|z|＜3
B．z的虚部为2
C．z的共扼复数为2i+1
D．z在复平面内对应的点在第二象限
3.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
4.已知M是△ABC内的一点，且 • ＝4 ，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
1，x，y，则 的最小值是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．185.定义复数的一种运算z*z ＝ （等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi，且正实数a，b满
1 2
足a+b＝3，则z* 最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，侧棱SB与平面ABC所成的角
为45°，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7.在正方体AC 中，E，F分别是线段BC，CD 的中点，则直线AB与直线EF的位置关系是（ ）
1 1 1
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
8.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，
则该平面图形的面积为（ ）A．2 B．4 C．4 D．2
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）
9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（ ）
A． B．
C． D．
10.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ，则下列结论正确的是（
）
A． 是单位向量 B．
C． D．
11.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
A． B．C． D．
12.如图，在直三棱柱ABC﹣ABC 中，CC ＝ ，点M是棱AA 的中点，则下列说
1 1 1 1 1
法正确的是（ ）
A．异面直线BC与BM所成的角为90° B．在BC上存在点D，使MD∥平面ABC
1 1
C．二面角B﹣AC﹣B的大小为60° D．BM⊥CM
1 1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知向量 ＝（﹣1，2）， ＝（2m﹣1，1），且 ⊥ ，则| ﹣2 |＝ ．
14.已知复数集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y R}， ，其中i为虚数
单位，若复数z A∩B，则z对应的点Z在复∈平面内所形成图形的面积为
∈
15.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，
E是正五边形的五个顶点，且 ＝ ，若 ＝ ，则 + ＝ （用 表示）．16.如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为2 ，点P为
线段DE上一点，当三棱锥P﹣ACE的体积为 时， ＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤）
17.设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．
（1）若 ＝ ，求D点的坐标及| |；
（2）设向量 ＝ ， ＝ ，若k ﹣ 与 +3 平行，求实数k的值．
18.已知z C，z+2i 和 都是实数．
（1）求复∈数z；
（2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．19.已知集合A＝{z||z|≤1}，
（1）求集合A中复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系？并在复平面内画出图形．
（2）若z A，求|z﹣（1+i）|的最大值、最小值，并求此时的复数z
（3）若B∈＝{z||z﹣ai|≤2}，且A B，求实数a的取值范围．
⊆
20.如图，已知图1中△ABC是等腰三角形，AC＝BC，D，E分别是AC，BC的中点，沿着DE把△CDE折
起到△C′DE，使得平面C′DE⊥平面BADE，图2中AD＝ ，AB＝4，F为BC′的中点，连接
EF．
（Ⅰ）求证：EF∥平面AC′D；
（Ⅱ）求四棱锥C′﹣ABED的侧面积．
21.现有一块长方形钢板ABCD（如图），其中AB＝4米，AD＝6米，运输途中不慎将四边形AEPF部分损
坏，经测量AE＝1.5米，AF＝3米，tan∠AEP＝4，∠AFP＝45°．现过点P沿直线MN将破损部分切去（M，N分别在AB，AD上），设DN＝t米．
（1）请将切去的△AMN的面积表示为t的函数f（t）；
（2）当DN的长度为多少时，切去的△AMN面积最小？并求出最小面积．
22.已知在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝ ，∠ADC＝ ，如图，DE∥CF，且DE＝3，CF＝4，
∠DCF＝ ，且平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求四棱锥F﹣ABCD的体积．
