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期中测试卷 01
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．复数 在复平面内对应的点位于( )。
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
2．若复数 ( 为虚数单位)，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
3．已知向量 ， ，且 与 平行，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
4．已知 、 、 是三条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下面说法中正确的是( )。
A、若 ， ，且 ， ，则
B、若 ， ，且 ，则
C、若 且 ，则
D、若 ， ，且 ， ，则
5．如图所示，已知一圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，母线 长为 ，其中 在上
底面上， 在下底面上，从 的中点 处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到 点，则这条绳子的长
度最短为( )。
A、B、
C、
D、
6 ． 已 知 中 ， ， ， ， 为 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 满 足
，则 的值为( )。
A、
B、
C、
D、
7．平行四边形 中， ，且 ，沿 将四边形折起成平面 平面 ，
则三棱锥 外接球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
8．如图所示，三棱锥 中， 、 、 、 、 ， 是 的中点，
，则三棱锥 的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列说法中错误的是( )。
A、若 、 、 ，则
B、若 且 ，则
C、若 、 非零向量且 ，则
D、若 ，则有且只有一个实数 ，使得
10．下列四个命题中是真命题的是( )。
A、若复数 满足 ，则
B、若复数 满足 ，则C、若复数 满足 ，则
D、若复数 、 满足 ，则
11．已知四面体 是球 的内接四面体，且 是球 的一条直径， ， ，则下面结论
正确的是( )。
A、球 的表面积为
B、 上存在一点 ，使得
C、若 为 的中点，则
D、四面体 体积的最大值为
12．如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别是棱 、 的中点，过直线 、
的平面分别与棱 、 交于 、 ，设 ， ，则下列命题中正确的是( )。
A、平面 平面
B、当且仅当 时，四边形 的面积最小
C、四边形 周长 是单调函数
D、四棱锥 的体积 为常函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设 是虚数单位，若复数 ( )是纯虚数，则 。
14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个
数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，
在该图中，球的体积是圆柱体积的 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的 ，若圆柱的表面积是 ，现
在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 。
15．已知在边长为 的正三角形 中， 、 分别为边 、 上的动点，且 ，则
的最大值为 。16．连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体
的棱长为 ，则该几何体的表面积为 ，该几何体的体积为 。(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知复数 、 满足 、 ，且 ，求 与 的值。
18．（本小题满分12分）
设向量 、 满足 ，且 。
(1)求 与 夹角的大小；
(2)求 与 夹角的大小；
(3)求 的值。19．（本小题满分12分）
正四棱台两底面边长分别为 和 。
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 ，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高。20．（本小题满分12分）
在四棱锥 中， 平面 ，且底面 为边长为 的菱形， ， 。
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在图中作出点 在平面 内的正投影 (说明作法及其理由)，并求四面体 的体积。
21．（本小题满分12分）
如图，多面体 是由三棱柱 截去一部分而成， 是 的中点。
(1)若 ， 平面 ， ，求点 到平面 的距离；(2)若 为 的中点， 在 上，且 ，问 为何值时，直线 平面 ？
22．（本小题满分12分）
如图所示， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 、 的点， 垂直于圆 所在的平面，且
。
(1)若 为线段 的中点，求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)若 ，点 在线段 上，求 的最小值。
