文档内容
期中检测卷 05
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.设S 为等差数列{a}的前n项和，且a﹣a+a＝6，则S ＝（ ）
n n 3 5 8 11
A．55 B．66 C．110 D．132
【答案】B
【分析】由已知利用等差数列的性质可求a＝6，根据等差数列求和公式即可计算得解．
6
【解答】解：由a﹣a+a＝6，得：a＝6，
3 5 8 6
则 ＝ ＝ ＝66．
故选：B．
【知识点】等差数列的前n项和
2.已知曲线 在x＝0处的切线l过点（﹣3，﹣a），则实数a等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【答案】B
【分析】先根据f（x）求出f（0）和f'（x），然后求出切线l的斜率，再得到切线l的方程，根据切线l过
点（﹣3，﹣a），求出a的值．
【解答】解：由 ，得f（0）＝﹣1，f'（x）＝ ，
∴切线l的斜率k＝f'（0）＝﹣1，∴切线l的方程为y+1＝﹣x，即x+y+1＝0，
∵切线l过点（﹣3，﹣a），∴﹣3﹣a+1＝0，∴a＝﹣2．
故选：B．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到
了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿
1 / 17问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百一十六，借问
大儿多少岁，各儿岁数要谁推．这位公公年龄最大的儿子年龄为（ ）
A．9岁 B．12岁 C．21岁 D．36岁
【答案】D
【分析】设第n个儿子的年龄为a ，则{a}是公差d＝﹣3的等差数列，利用等差数列前n项和公式列出方
n n
程组，能求出结果．
【解答】解：设第n个儿子的年龄为a，则{a}是公差d＝﹣3的等差数列，
n n
由题意得S＝9a+ ＝216，
9 1
解得a＝36．
1
故选：D．
【知识点】等差数列的前n项和
4.已知函数y＝f（x）（x R）的图象如图所示，则不等式 ＜0的解集为（ ）
∈
A．（﹣∞，0）∪（ ，2） B．（﹣1，1）∪（1，3）
C．（﹣∞， ）∪（ ，2） D．（﹣∞， ）（1，2）
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的单调性，利用数形结合即可解不等式．
【解答】解：∵ ＜0，即（x﹣1）•f′（x）＜0，
∴不等式等价为x＞1时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知此时解集为：（1，
2）．
当x＜1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知x＜ ，
2 / 17即不等式的解集为（﹣∞， ）∪（1，2）．
故选：D．
【知识点】函数的图象与图象的变换、其他不等式的解法、利用导数研究函数的单调性
5.已知数列{a}，{b}均为等差数列，其前n项和分别为S，T，且 ＝ ，若 ≥ 对任意的n N*
n n n n
λ ∈
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
λ
A． B．0 C．﹣2 D．2
【答案】A
【分析】由已知结合等差数列性质可得， ＝ ＝ ＝ ，然后结合单调性可求 取
得最大值，从而可求．
【解答】解：因为数列{a}，{b}均为等差数列，且 ＝ ，
n n
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 单调递减，
当n＝1时， 取得最大值 ，
若 ≥ 对任意的n N*恒成立，
λ ∈
则 ，即 的最大值为 ．
故选：A．
λ
【知识点】等差数列的性质
6.已知函数f（x）＝ （a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处
的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a的取值范围是（ ）
A． B．
3 / 17C． D．
【答案】C
【分析】求出原函数在点A（e，1）处的切线的方程，切线与该函数的图象恰好有三个公共点，只需求出
切线与当x＜1时的函数联立方程组有两个交点，利用△＞0求出a的范围，再讨论在x＜1的这个
前提下成立，即在x＜1时切线图象低于抛物线图象即可得答案；
【解答】解：函数f（x）在点A（e，1）处的切线的方程：由f（x）＝lnx，x≥1，得f′（x）＝ ，则f′
（e）＝ ，
∴f（x）在点A（e，1）处的切线方程为y＝ x，①
函数y＝f（x）＝ （x+2）（x﹣a），x＜1 ②
∴由①②联立方程组可得： x＜1
化简得：x2+（1﹣a）x﹣2a＝0，③
∵切线与该函数的图象在A（e，1）点有一个交点，
∴只需要满足③在当x＜1时有两个不相同的交点，利用△＞0求出a的范围，
△＞0即：a2+6a+1＞0，
解得：a＞﹣3+2 或 a＜﹣3﹣2 ，④
在x＜1时，切线图象应低于抛物线图象才能保证交于两不同的交点；
∴f（1）＝ （1+2）（1﹣a）＞ ×1
解得：a＜ ，⑤
∴④∩⑤得a的范围：
故选：C．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
7.已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x （0，+∞）时，f（x）＝| |．若a
∈
＝f（﹣ ），b＝f（﹣ ），c＝f（ ），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【答案】D
4 / 17【分析】利用函数的奇偶性可得a＝f（ ），b＝f（ ），对函数f（x）求导，可得函数f（x）的单调性，
即可比较a，b，由对数的运算即可比较a，c，从而可得结论．
【解答】解：由题意，a＝f（﹣ ）＝f（ ），b＝f（﹣ ）＝f（ ），
当x （1，e）时，f（x）＝| |＝ ，f′（x）＝ ，
∈
因为x （1，e），所以lnx＜1，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，e）上单调递增，
∈
因为1＜ ＜ ＜e，所以f（ ）＜f（ ），即b＜a，
c＝f（ ）＝| |＝﹣ ln ＝ ln ＝ ln ，a＝f（ ）＜f（2）＝| |＝
ln2，
因为 ＞2，所以c＞a，即c＞a＞b．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
8.已知等比数列{a}的前n项和为S ，若a+2a ＝0， ，且a≤S≤a+2，则实数a的取值范围是（
n n 1 2 n
）
A．[﹣1，0] B． C． D．[0，1]
【答案】B
【分析】设等比数列{a}的公比为q，由a+2a ＝0， ，可得a （1+2q）＝0，a （1+q+q2）＝ ，联
n 1 2 1 1
立解出：a，q，利用求和公式及其单调性即可得出．
1
【解答】解：设等比数列{a}的公比为q，∵a+2a＝0， ，
n 1 2
∴a（1+2q）＝0，a（1+q+q2）＝ ，
1 1
解得：a＝1，q＝﹣ ，
1
∴S＝ ＝ ．
n
5 / 17当n＝1时，S 取最大值1，当n＝2时，S 取最小值 ，
n n
∴ ，﹣1≤a ，
故选：B．
【知识点】等比数列的前n项和
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求的；错选或多选不得分。
9.已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函数y＝xf'（x）的图象，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数f（x）的增区间是（﹣2，0），（2，+∞）
B．函数f（x）的增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞）
C．x＝﹣2是函数的极小值点
D．x＝2是函数的极小值点
【答案】BD
【分析】根据题意，由函数y＝xf′（x）的图象分析导函数的符号，进而可得f（x）的单调区间以及单调
性，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数y＝xf′（x）的图象可知：
当x＜﹣2时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，
当﹣2＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数，
当0＜x＜2时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数，
当x＞2时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数；
据此分析选项：函数f（x）的增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞），则B正确，A错误；
x＝﹣2是函数的极大值点，x＝2是函数的极小值点，则D正确，C错误；
故选：BD．
【知识点】导数及其几何意义
6 / 1710.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此
六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了42里路
【答案】ABD
【分析】设此人第n天走a 里路，则{a}是首项为a ，公比为q＝ 的等比数列，由S ＝378求得首项，然
n n 1 6
后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：设此人第n天走a 里路，则{a}是首项为a，公比为q＝ 的等比数列，
n n 1
由等比数列前n项和公式得S＝ ，解得a＝192，
6 1
在A中，a＝ ＝96，∴此人第二天走了九十六里路，故A正确；
2
在B中，378﹣192＝186，192﹣186＝6，∴此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故
B正确；
在C中，a＝192× ＝48， ＞ ，故C错误；
3
在D中，a+a+a＝192×（ ）＝42，故D正确．
4 5 6
故选：ABD．
【知识点】等比数列的前n项和
11.等比数列{a}中，公比为q，其前n项积为T，并且满足a＞1．a •a ﹣1＞0， ＜0，下列选项
n n 1 99 100
中，正确的结论有（ ）
A．0＜q＜1
B．a •a ﹣1＜0
99 101
C．T 的值是T 中最大的
100 n
D．使T＞1成立的最大自然数n等于198
n
7 / 17【答案】ABD
【分析】由已知a a ﹣1＞0，得q＞0，再由 ＜0得到q＜1说明A正确；再由等比数列的性质结
99 100
合a ＜1说明B正确；由T ＝T •a ，而0＜a ＜1，求得 T ＜T ，说明C错误；分别求得
100 100 99 100 100 100 99
T ＞1，T ＜1说明D正确．
198 199
【解答】解：对于A，∵a a ﹣1＞0，∴a2•q197＞1，∴（a•q98）2•q＞1．
99 100 1 1
∵a＞1，∴q＞0．
1
又∵ ＜0，∴a ＞1，且a ＜1．
99 100
∴0＜q＜1，故A正确；
对于B，∵ ，∴0＜a •a ＜1，即 a •a ﹣1＜0，故B正确；
99 101 99 101
对于C，由于T ＝T •a ，而0＜a ＜1，故有 T ＜T ，故C错误；
100 99 100 100 100 99
对于D，T ＝a•a…a ＝（a•a ）（a•a ）…（a •a ）＝（a •a ）×99＞1，
198 1 2 198 1 198 2 197 99 100 99 100
T ＝a•a…a ＝（a•a ）（a•a ）…（a •a ）•a ＜1，故D正确．
199 1 2 199 1 199 2 198 99 101 100
∴不正确的是C．
故选：ABD．
【知识点】等比数列的前n项和
12.已知函数f（x）＝ex﹣alnx的定义域是D，有下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．对于∀a （﹣∞，0），函数f（x）在D上是单调增函数
B．对于∀a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值
C．存在a （∈ ﹣∞，0），使得对于任意x D，都有f（x）＞0成立
D．存在a∈（0，+∞），使得函数f（x）有∈两个零点
∈
【答案】ABD
【分析】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点
则对应方程有根．
【解答】解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）＝ex﹣ ，
对于A：∵a （﹣∞，0）∴f′（x）＝ex﹣ ≥0，是增函数．所以A正确，
∈
对于B：∵a （0，+∞），∴存在x有f′（x）＝ex﹣ ＝0，可以判断函数有最小值，B正确．
对于C：画出函数y＝ex，y＝﹣alnx的图象，
∈
8 / 17如图：显然不正确．
对于D：令函数y＝ex是增函数，y＝alnx是增函数，
所以存在a （0，+∞），f（x）＝ex﹣alnx＝0有两个根，正确．
故选：ABD．
∈
【知识点】利用导数研究函数的单调性
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.记S 为等差数列{a}的前n项和．已知a＝0，S＝48，则公差d＝ ．
n n 3 8
【答案】4
【分析】结合已知及等差数列的通项公式及求和公式及可求解公差d．
【解答】解：由已知可得， ，
解可得，d＝4．
故答案为：4
【知识点】等差数列的前n项和
14.已知函数f（x）＝ex（x+ ﹣a﹣1），其导函数为f'（x），若存在x [2，4]使得f（x）+xf′（x）＞
0成立，则实数a的取值范围是 ﹣∞ ． ∈
【答案】（-∞，6）
【分析】构造函数g（x）＝xf（x），然后结合已知可判断其符号，结合二次不等式的性质即可求解．
【解答】解：令g（x）＝xf（x）＝ex[x2+（2a﹣1）﹣（a+1）x]，
则存在x [2，4]使g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，
即ex[x2﹣（a﹣1）x+a﹣2]＞0在x [2，4]上有解，
∈
∈
9 / 17∴x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝（x﹣1）[x﹣（a﹣2）]＞0x [2，4]上有解，
结合二次不等式的性质可知，a﹣2≤1或1＜a﹣2＜4，
∈
解可得，a≤3或3＜a＜6，即a＜6．
综上可得，a的范围（﹣∞，6）．
故答案为：（﹣∞，6）．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
15.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，
f（4）＝1，则不等式f（x）＜ex的解集为 ．
【答案】（0，+∞）
【分析】令 ，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得g（0）＝
1，即可得出．
【解答】解：令 ，
则 ＝ ，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在R上单调递减．
∵函数f（x+2）是偶函数，
∴函数f（﹣x+2）＝f（x+2），
∴函数关于x＝2对称，
∴f（0）＝f（4）＝1，
原不等式等价为g（x）＜1，
∵g（0）＝ ＝1．
∴g（x）＜1 g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上单调递减，
⇔
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜ex的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【知识点】导数的运算、函数单调性的性质与判断
16.设n N*，用A 表示所有形如 + +…+ 的正整数集合，其中0≤r ＜r ＜…＜r≤n，且r N
n 1 2 n i
∈ ∈
（i N*），b 为集合A 中的所有元素之和．则{b}的通项公式为b＝ ﹣ ．
n n n n
∈
10 / 17【答案】n•（2n+1-1）
【分析】把集合A 中每个数都表示为2的0到n的指数幂相加的形式，并确定20、21、22、…、2n每个数都
n
出现n次，于是利用等比数列求和公式计算 ，可求出数列{b}的通
n
项公式．
【解答】解：由题意可知，r、r、…、r 是0、1、2、…、n的一个排列，
1 2 n
且集合A 中共有n+1个数，若把集合A 中每个数表示为 + +…+ 的形式，
n n
则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，
因此， ＝ ，
故答案为：n•（2n+1﹣1）．
【知识点】等比数列的前n项和
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.已知a为实数，函数f（x）＝x3+ax3+x+a，若f'（﹣1）＝0．
（1）求a的值．
（2）求函数y＝f（x）在 上的极值．
【分析】（1）求导代入解方程；
（2）求出导函数后，采用表格法可求出极大极小值．
【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax+1，∴f'（﹣1）＝4﹣2a＝0得a＝2．
（2）由（1）知a＝2∴f（x）＝x3+2x2+x+2∴f'（x）＝3x2+4x+1
＝（3x+1）（x+1）令f'（x）＝0得x＝﹣1，
1
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x ﹣1
（﹣ ，﹣1）
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
由上表可知f （x）＝f（﹣1）＝2； ．
极大值
故函数y＝f（x）在[﹣ ，1]上的极大值为2，极小值为 ．
11 / 17【知识点】导数的运算、利用导数研究函数的极值
18.已知函数f（x）＝ ，数列{a}满足a＝f（1），a ＝f（a）．
n 1 n+1 n
（1）求证：数列{ ﹣ }是等比数列；
（2）不等式 + +…+ ≥t+ ，n N*恒成立，求实数t的取值范围．
∈
【分析】（1）由题意可得可得a＝ ，a ＝ ，取倒数减去 ，结合等比数列的定义，即可得证；
1 n+1
（2）求得 ＝2n﹣1+ ，运用等比数列的求和公式，化简可得 t≤2n﹣1恒成立，求得右边数
列的最小值，即可得到t的范围．
【解答】解：（1）证明：由函数f（x）＝ ，数列{a}满足a＝f（1），a ＝f（a），
n 1 n+1 n
可得a＝ ，a ＝ ，
1 n+1
﹣ ＝ ﹣ ＝ （ ﹣ ），
则数列{ ﹣ }是首项为 ，公比为 的等比数列；
（2）由（1）可得 ﹣ ＝ •（ ）n﹣1＝（ ）n+1，
即有 ＝2n﹣1+ ，
不等式 + +…+ ≥t+ ，即为
（1+2+…+2n﹣1）+（ + +…+ ）≥t+ ，
12 / 17即有 + ≥t+ ，
即为t≤2n﹣1恒成立，
由2n﹣1递增，可得2n﹣1的最小值为1，
则实数t的取值范围为（﹣∞，1]．
【知识点】等比数列的性质、数列与不等式的综合
19.已知数列{a}的前n项和 ，且a，a，a 成等比数列．
n 2 4 8
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）设 ，求数列{b}的前n项和T．
n n
【分析】（1）利用数列的前n项和推出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）当n＝1时，a＝S＝1+p，
1 1
当n≥2时， ，
经检验，n＝1时也满足上式，所以a＝2n﹣1+p．
n
因为a，a，a 成等比数列，
2 4 8
所以 ，
即（3+p）（15+p）＝（7+p）2，解得p＝1．
所以a＝2n．
n
（2）由（1）及题设得， ，
所以T＝b+b+…+b＝
n 1 2 n
＝ ＝ ．
【知识点】等比数列的前n项和、数列的求和
20.已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（1）若f′（1）＝﹣6，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线；
（2）设a＞0，证明：当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
（3）若函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：f′（x）＜0．
0 0
13 / 17【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设函数g（x）＝f（ +x）﹣f（ ﹣x），则g（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，求
出导数，判断单调性，即可得证；
（3）设出函数y＝f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（2）的结论，和函数f
（x）的单调性，即可证明结论．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x，
∴f'（x）＝ ﹣2ax+2﹣a＝ ＝﹣ ．
f′（﹣1）＝a+1＝﹣6，解得a＝﹣7，
则函数f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k＝﹣6，
切点为（1，16），
则所求切线的方程为y﹣16＝﹣6（x﹣1），
即为6x+y﹣22＝0；
（2）证明：设函数g（x）＝f（ +x）﹣f（ ﹣x），
则g（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g′（x）＝ + ﹣2a＝ ，
当x （0， ）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
而g（0）＝0，即有g（x）＞0，
∈
故当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ ﹣x）．
（3）证明：当a≤0时，f′（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增，
即有函数y＝f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（ ），且f（ ）＞0，
不妨设A（x，0），B（x，0），0＜x＜x，
1 2 1 2
则0＜x＜ ＜x，
1 2
由（2）得，f（ ﹣x）＝f（ + ﹣x）＞f（x）＝f（x）＝0，
1 1 1 2
又f（x）在（ ，+∞）单调递减，
∴ ﹣x＜x，于是x＝ ，
1 2 0
14 / 17当x （ ，+∞）（a＞0）时，f′（x）＜0，
则f′（ x）＜0成立．
∈ 0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性
21.已知函数f（x）＝axex（a R，a≠0），g（x）＝x+lnx+1．
（I）讨论f（x）的单调性；∈
（II）若对任意的x＞0，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论可求；
（II）由已知不等式分离参数后转化为求解函数的值域，结合导数及函数性质可求；
（法二：）结合重要不等式ex≥x+1，及已知不等式特点进行合理辅值可证明．
【解答】解：（I）f′（x）＝a（x+1）ex，a≠0，
当a＞0时，易得x （﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x （﹣1，+∞）时，
f′（x）＞0，函数单调递增，
∈ ∈
当a＜0时，易得x （﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x （﹣1，+∞）时，
f′（x）＜0，函数单调递减，
∈ ∈
（II）由f（x）≥g（x）代入可得，a ，x＞0，
令 F（x）＝ ，x＞0，
则 ，
令t（x）＝x+lnx，x＞0，则t′（x）＝1+ ＞0，
即t（x）在（0，+∞）上单调递增，且t（ ）＝ ，t（1）＝1＞0，
故存在 使得t（x）＝x+lnx ＝0，
0 0 0
从而有F（x）在（0，x）单调递增，在（x，+∞）上单调递减，
0 0
故F（x） ＝F（x）＝ ＝1，
max 0
故a≥1．
法二：令h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1，
易得，当x＞0时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，h′（x）＜0，函数单调递减，
故当x＝0时，h（x）取得最小值h（0）＝0，即ex≥x+1，x＝0时取等号，
故xex＝ex+lnx≥x+lnx+1，当x+lnx＝0时取等号，
所以当a≥1时，axex≥xex≥x+lnx+1恒成立．
15 / 17综上a≥1．
【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性
22.已知数列{a}满足a+a＝12，a＝6， 为 与 的等差中项．
n 1 3 2
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）若数列{a}的前n项和为S ，数列{b}满足b ＝2S﹣a﹣1，b +b ＝ a （a+2），求证：
n n n 2n﹣1 n n 2n 2n﹣1 n n
+…+ （n≥2）．
【分析】（1）根据等差中项的概念得到数列{a}的奇数项和偶数项分别成公差为8的等差数列，再分奇偶
n
分别求出数列{a}的通项公式，即可得到结果；
n
（2）先根据等差数列的求和公式求出 S ，并根据题意求出数列{b}的通项公式，再利用数学
n n
归纳法证明不等式即可．
【解答】（1）解：∵ 为 与 的等差中项，∴ ＝ + ，整理得：a ﹣a ＝
n+2 n
8，
∴a﹣a＝8，又a+a＝12，可解得：a＝2，
3 1 1 3 1
∴数列{a}中所有的奇数项是以a＝2为首项，公差为8的等差数列，
n 1
∴a ＝2+8（n﹣1）＝8n﹣6＝4（2n﹣1）﹣2，
2n﹣1
又∵a＝6，∴数列{a}中所有的偶数项是以a＝6为首项，公差为8的等差数列，
2 n 2
∴a ＝6+8（n﹣1）＝8n﹣2＝4×2n﹣2，
2n
综上，a＝4n﹣2；
n
（2）证明：由（1）可得：S＝ ＝2n2，
n
∴b ＝2S﹣a﹣1＝4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2，
2n﹣1 n n
∴当n为奇数时，b＝n2，
n
又∵b +b ＝ a（a+2），
2n 2n﹣1 n n
∴b ＝4n（2n﹣1）﹣b ＝4n（2n﹣1）﹣（2n﹣1）2＝（2n）2﹣1，
2n 2n﹣1
∴当n为偶数时，b＝n2﹣1，
n
∴b＝ ，
n
①当n＝2时，左边＝1+ ＝ ，右边＝ ，不等式成立；
16 / 17②假设当n＝k（k≥2）时，不等式成立，即 + +…+ ≥ ﹣ ，
∵ ≥ ，
∴当n＝k+1时， + +…+ + ≥ ﹣ + ，
要证当n＝k+1时不等式成立，只需证 ﹣ ≥﹣ 即可，
只需证 ≥ ﹣ ，
只需证 ≥ ，
只需证k+1≤k+2，这显然成立，
故当n＝k+1时不等式也成立，
综上， +…+ （n≥2）．
【知识点】等差数列的性质、数列递推式
17 / 17
