拓展三含参函数单调性的分类讨论（精练）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第二套）

拓展三 含参函数单调性的分类讨论 【题组一 导函数为一根】 1．（2020·南宁市银海三美学校期末）设函数 ．讨论函数 的单调性； 【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2） . 【解析】 当 时， ，∴ 在 上单调递减； 当 时，令 ，则 ， ∴当 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增； 2．（2020·重庆高二月考）已知函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 有极小值，求该极小值的取值范围． 【答案】（Ⅰ）：当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递 增区间为 ，单调递减区间为 ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ， ①当 时， ，函数 在 内单调递增，②当 时，令 得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 综上所述：当 时，函数 的单调递增区间为 ； 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （Ⅱ）①当 时， ，函数 在 内单调递增，没有极值； ②当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 , 所以 ， 记 ，则 ，由 得 ， 所以 ， 所以函数 的极小值的取值范围是 3．（2020·四川乐山·高二期中（理））已知函数 ．讨论 的单调性； 【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 定义域为 ， 因为 ， 若 ，则 ，所以 在 单调递增， 若 ，则当 时， ，当 时， ， 所以 在 单调递减，在 单调递增．4．（2020·四川达州·高二期末（理））已知 ，函数 ， . （1）讨论 的单调性； （2）记函数 ，求 在 上的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1） ，则 . 当 时，当 时， ，函数 单调递增； 当 时，当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减. 综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ； 当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； （2） ， ， . ①当 时，对任意的 ， ，函数 单调递增， 所以，函数 在 上的最小值为 ； ②若 ，对任意的 ， ，函数 单调递减，所以，函数 在 上的最小值为 ； ③若 时，当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 又因为 ， ， . （i）当 时，即当 时， ， 此时，函数 在区间 上的最小值为 ； （ii）当 时，即当 时， . 此时，函数 在区间 上的最小值为 . 综上所述， . 5．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）= ，其中 a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.讨论f（x）的单调性； 【答案】当 时， <0， 单调递减；当 时， ＞0， 单调递 增；【解析】 <0， 在 内单调递减. 由 =0有 . 当 时， <0， 单调递减； 当 时， ＞0， 单调递增. 【题组二 导函数为两根】 1．（2020·黄梅国际育才高级中学高二月考（文））已知函数 .讨论 的单 调性； 【答案】见解析 【解析】f（x）的定义域为（0，+ ）， . 若a≥0，则当x∈（0，+ ）时， ，故f（x）在（0，+ ）单调递增. 若a＜0，则当x∈ 时， ；当x∈ 时， .故f（x）在 单调 递增，在 单调递减. 2．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））已知函数 ，实数 . 讨论函数 在区间 上的单调性； 【答案】见解析；【解析】由题知 的定义域为 ， . ∵ ， ，∴由 可得 . （i）当 时， ，当 时， 单递减； （ii）当 时， ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 综上所述， 时， 在区间 上单调递减； 当 时， 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增. 3．设函数 ，讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得 ，当 时，当 ；当 时， ； 在 单调递减，在 单调递增， 当 时，令 得 ， 当 时， ；当 时， ； 当 时， ； 所以 在 单调递增，在 单调递减； ②当 时， ，所以 在 单调递增， ③当 时， ； 当 时， ；当 时， ； ∴ 在 单调递增，在 单调递减； 4.已知函数 ，求函数 的单调区间 【答案】见解析 【解析】函数 的定义域为 ． ． 若 ， ．所以函数 的单调递增区间为 ； 若 ，令 ，解得 ， ． 当 时， ， 的变化情况如下表单调递增 极大值 单调递减 函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ； 当 时， ， 的变化情况如下表 单调递增 极大值 单调递减 函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 综上所述： ， 的单调递增区间为 ； ，单调递增区间是 ， 单调递减区间是 ； ，单调递增区间是 ，单调递减区间是 【题组三 不能因式分解】 1．已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】 的定义域为 ， ，对于 ， ， 当 时， ，则 在 上是增函数. 当 时，对于 ，有 ，则 在 上是增函数. 当 时， 令 ，得 或 ， 令 ，得 ， 所以 在 ， 上是增函数， 在 上是减函数. 综上，当 时， 在 上是增函数； 当 时， 在 ， 上是增函数， 在 上是减函数. 2．已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】 , .令 . . 若 ，即 ，则 ，即 ， ∴ 在 上单调递减； 若 ，即 . 由 ， 解得 ， . ∴当 时， ，即 ， 在 上单调递减； 当 时， ，即 ， 在 上单调递增； 3．已知函数 ， ，讨论函数 的单调性； 【答案】见解析 【解析】 ， ， 令 ， ， 若 ，即 ，则 ， 当 时， ， 单调递增，若 ，即 ，则 ，仅当 时，等号成立， 当 时， ， 单调递增. 若 ，即 ，则 有两个零点 ， ， 由 ， 得 ， 当 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增. 综上所述， 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减.