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拓展一 利用递推公式求通项公式常用方法
【题组一 累加法】
1．如果数列 满足： ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得, ，
，
，…
,
以上 个式子相加可得,
，
,故选B.
2．（2020·河北新华·石家庄二中高二月考）在数列 中， ， ，则 的通
项公式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知得 ，
所以将上述 个式子相加，整理的
又因为 ，所以 ．
故选A．
3．（2020·赣州市赣县第三中学高一期中）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 数列 满足 ， ，
，
，
，
，
……
，
累加得： ，
又 ，
，.
故选B.
【题组二 累乘法】
1．（2020·吉林南关·长春市实验中学高一月考（理））已知数列 满足 ，
．数列 的通项公式是______．
【答案】
【解析】 ，
当 时，
当 时，
，
两式相减得： ，即 ，
，
，
，
，累乘得： ，所以 ，
，
故答案为：
【题组三 公式法】
1．（2020·河北高一期末）数列{a}的前n项和为S，若 则 ____________ ．
n n
【答案】 .
【解析】 时， 时， ，可得 ，即
数列 从第二项起为等比数列， 时， ，故答案为 .
2．（2020·祁县第二中学校）数列 满足， ，写出数列 的通
项公式__________．
【答案】
【解析】因为 ,所以,两式相减得 ，即 ，
又 ，所以 ，因此
3．（2020·江西南康中学月考（文））数列 的前 项和 ，则该数列的通项公式为
__________．
【答案】
【解析】 当 时
当 时也适合，故 .即答案为 .
4．（2020·宜城市第二高级中学）若数列{a }的前n项和为S＝ a＋ ，则数列{a }的通项公式是
n n n n
a=______.
n
【答案】 ；
【解析】当n=1时，a=S = a+ ，解得a=1,当n≥2时，a=S -S =（ ）-（ ）= -
1 1 1 1 n n n-1
整理可得 a＝− a ，即 =-2，故数列{a }是以1为首项，-2为公比的等比数列，故a=1×
n n−1 n n
（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．
5．（2020·陕西延安中学高三期末）数列{a}满足 ，则aaa…
n 1 2 3
a =（ ）
10A． B． C． D．
【答案】A
【解析】n=1时,a= ,
1
∵ ,
∴ 时, ,
两式相减可得2n-1a= ,
n
∴ ,
n=1时，也满足
∴ ,
故选A
6．（2020·甘肃省岷县第一中学（文））如果数列 的前 项和为 ，则这个数列的通项公
式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
当 时， ，
所以 ，当 时， ，此时 ，
所以，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即 .
故选：B.
【题组四 倒数法】
1．（2020·全国高三课时练习（理））在数列{ }中，已知 ， ， ，则 等于
( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将等式 两边取倒数得到 ， 是公差为 的等差数
列， = ，根据等差数列的通项公式的求法得到 ，故 = .
故答案为：B.
2．（2019·浙江省宁波市鄞州中学）已知数列 满足 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ,
,即 ,
又 所以数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,,
,故 ,
故选:D.
3．（2020·重庆高一开学考试）已知数列 满足递推关系 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，所以
则 ，又 ，所以
所以数列 是以2为首项，1为公比的等差数列
所以 ，则
所以
故选：B
4．（2020·四川省绵阳南山中学高一期中）已知数列 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 ，
两边同时取倒数得 ，
即 ，
即数列 是公差 的等差数列，首项为 ．
则 ，
得 ，
则 ，
故选：
【题组五 周期数列】
1．（2020·河南高二月考（理））在数列 中， ， （ ， ），则
（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】A
【解析】 ， ， ，
可得数列 是以3为周期的周期数列， .故选：A.2．（2020·呼图壁县第一中学期末）已知数列 中， ， （ ），那么
等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ，
，
，
…
所以数列 是以3为周期的数列，
所以 ，
故选：B
3．（2020·河北路南·唐山一中高一月考）已知数列 中， ,则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ,①则 ,②①+②有: ,即 ,则 ,
即数列 的周期为6,
又 ,得 ， ,
则 ,
故选:D.
