文档内容
高二年级下学期期末仿真卷 05
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.记S 为等差数列{a}的前n项和，若a＝3，a＝9，则S 为（ ）
n n 2 5 6
A．36 B．32 C．28 D．24
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】解：S＝ ＝3×（3+9）＝36．
6
故选：A．
【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的前n项和
2. 的展开式中的常数项为（ ）
A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．180
【答案】D
【分析】把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中的常数项．
【解答】解： ＝（x3﹣1）（ •x3+ + •4+ •8 + •16x﹣3+ •32
+ •64x﹣6），
故它的展开式中的常数项为 •16﹣ •4＝180，
故选：D．
【知识点】二项式定理
3.设曲线 在 处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（ ）
A．﹣1 B． C．﹣2 D．2【答案】C
【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜
率，列出方程即得．
【解答】解：∵切线与直线y＝ax+1平行，斜率为a，
又y'＝ ＝ ，
所以切线斜率k＝f′（ ）＝﹣2，所以y＝ax+1的斜率为﹣2，
即a＝﹣2．
故选：C．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
4.在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩 X～N（86，σ2），若已知P（80
＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（ ）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
【答案】D
【分析】已知P（80＜X≤86）＝0.36，根据正态曲线的对称性，P（X＞92）＝
，计算即可．
【解答】解：依题意，P（80＜X≤86）＝0.36，
根据正态曲线的对称性知 P（X＞92）＝ ＝ （1﹣2×0.36）＝
0.14．
故选：D．
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
5.设函数 ，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单
调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤3
【答案】C
【分析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可．
【解答】解： ，∴a＝1，
因为x＞0，所以当0＜x＜3时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上递减，
所以 ，∴1＜m≤2．
故选：C．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性
6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问 120名高中生是否喜
好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．
P 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001（K2≥k ）
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
0
参照附表，可得正确的结论是（ ）
A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
【答案】A
【分析】根据列联表与独立性检验的应用问题，对照临界值即可得出结论．
【解答】解：由题意知，观测值K2＝4.236＞3.841，
所以有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．
故选：A．
【知识点】独立性检验
7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD（边长为2个单位）的顶点A
处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，
2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又
回到点A处的所有不同走法共有（ ）
A．22种 B．24种 C．25种 D．27种
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或
16，据此列举列分析点数中三个数字为8或16的组合数目，结合排列、组合数公式分析每种组合
的顺序数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组
合，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，
其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有C 1＝3种顺序，
3
1、2、5，1、3、4，这2种组合有A3＝6种顺序，
3
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3×5+2×6＝27种，
故选：D．
【知识点】排列、组合及简单计数问题8.若两个等差数列{a}，{b}的前 n 项和分别为 A 、B ，且满足 ，则 的值为
n n n n
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】解： ＝ ＝ × ＝ × ＝ × ＝ ．
故选：C．
【知识点】等差数列的性质
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求
的，选对得分，错选或漏选不得分。
9.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x＜x，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A．xf（x）＜xf（x）
2 1 1 2
B．x+f（x）＜x+f（x）
1 1 2 2
C．
D．当lnx＞﹣1时，xf（x）+xf（x）＞2xf（x）
1 1 2 2 2 1
【答案】AD
【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】解：A．正确；
因为令g（x）＝ ＝lnx，在（0，+∞）上是增函数，
∴当 0＜x＜x 时，g（x）＜g（x），
1 2 1 2
∴ 即xf（x）＜xf（x）．
2 1 1 2
B．错误；
因为令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x
∴g′（x）＝lnx+2，
∴x （e﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x （0，e﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∈
∴x+f（x）与x+f（x）无法比较大小．
1 1 2 2
∈C．错误；
因为令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，
g′（x）＝lnx，
∴x （0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）单调递减，
x （1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，
∈
∴当0＜x＜x＜1时，g（x）＞g（x），
1 2 1 2
∈
∴f（x）﹣x＞f（x）﹣x，
1 1 2 2
∴f（x）﹣f（x）＞x﹣x，
1 2 1 2
∴ ＜0．
当1＜x＜x 时，g（x）＜g（x）
1 2 1 2
∴f（x）﹣x＜f（x）﹣x，
1 1 2 2
∴f（x）﹣f（x）＜x﹣x，
1 2 1 2
∴ ．
D．正确；
因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，
∴x•f（x ）+x•f（x ）﹣2xf（x ）＞x[f（x ）﹣f（x ）]+x[f（x ）﹣f（x ）]＝（x﹣x ）[f
1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2
（x）﹣f（x）]＞0．
1 2
故选：AD．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
10.等差数列{a}的前n项和为S，若a＜0，a ＞0，则下列结论正确的是（ ）
n n 9 10
A．S ＞S B．S ＜0 C．S ＞S D．S ＞0
10 9 17 18 19 19
【答案】ABD
【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A正确；根据题意可知数列为递减数列则a ＞0，又S
19 18
＝S ﹣a ，进而可知S ＞S ，判断出C不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知 S ＝
19 19 15 16 17
＝ ＝17a ，S ＝ ＝ ＝19a ＞0，故
9＜0 19 10
BD正确．
【解答】解：根据题意可知数列为递增数列，a＜0，a ＞0
9 10
∴前9项的和最小，故A正确，
S ＝ ＝ ＝17a＜0，故B正确，
17 9
S ＝ ＝ ＝19a ＞0，故D正确．
19 10
∵a ＞0
19
∴S ＝S ﹣a
18 19 19
∴S ＜S ，故C不正确．
18 19
故选：ABD．
【知识点】等差数列的前n项和
11.已知 的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）A．a＝1
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等
【答案】ACD
【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．
【解答】解：令x＝1，可得 的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正
确；
∵（1+ ） ＝（1+ ）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中
常数项为﹣160，故B不正确；
的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1+ ） 的各系数和，为
（1+a）•36＝1458，故C正确；
根据（1+ ） ＝（1+ ）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），
可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，
故选：ACD．
【知识点】二项式定理
12.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（ ，σ2），N（ ，σ2），其正态分布的密
1 1 2 2
度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） μ μ
A．甲类水果的平均质量 ＝0.4kg
1
B．甲类水果的质量比乙类μ水果的质量更集中于平均值附近
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
【答案】ABC
【分析】根据甲、乙两类正态分布的密度曲线图象，得出平均数的大小，再判断命题是否正确．
【解答】解：由正态分布的密度曲线图象可知，
甲类水果的平均质量为 ＝0.4kg，A正确；
1
乙类水果的平均质量为 ＝0.8kg，所以 ＜ ，C正确；
2 1 2
μ
由甲类水果的正态密度曲线比乙类水果的正态密度曲线更凸起些，
μ μ μ
所以σ＜σ，得出B正确；所以D错误．
1 2故选：ABC．
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列{a}的前n项和为S＝2n2+3n+3，则数列{a}的通项公式为 ．
n n n
【分析】由n≥2时，a ＝s﹣s ，代入关系式化简求出a ，再把n＝1时a ＝s 代入验证，再用分段函数
n n n﹣1 n 1 1
形式表示．
【解答】解：当n≥2时，a＝s﹣s ＝2n2+3n+3﹣[2（n﹣1）2+3（n﹣1）+3]
n n n﹣1
＝4n+1，
当n＝1时，a＝s＝8，不符合上式，
1 1
则a＝ ，
n
故答案为： ．
【知识点】数列的概念及简单表示法
14.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）＝2lnx+x，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处
的切线斜率为 ．
【答案】3
【分析】由已知求得函数在x＜0时的函数解析式，然后求导函数，进一步求得函数在x＝﹣1处的函数值
得答案．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝2ln（﹣x）﹣x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴﹣f（x）＝2ln（﹣x）﹣x，则f（x）＝﹣2ln（﹣x）+x，
∴f′（x）＝ ，则f′（﹣1）＝3．
即曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为3．
故答案为：3．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
15.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲
乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有
种．
【答案】81
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，②，由分步计数原理
分析剩下的3人分配方案数目，由乘法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C 1＝3种情况，
3
②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下
三人有3×3×3＝27种不同的选法，
则有3×27＝81种不同的分配方法；故答案为：81
【知识点】排列、组合及简单计数问题
16.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高x（cm） 160 165 170 175 180
体重y（kg） 63 66 70 72 74
根据上表可得回归直线方程： ＝0.56x+ ，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为 ．
【答案】70.12kg
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数
法做出a的值，得到线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm
的高三男生的体重．
【解答】解：由表中数据可得 ＝ ＝170， ＝ ＝69，
∵（ ， ）一定在回归直线方程y＝0.56x+a上，
∴69＝0.56×170+a，
解得a＝﹣26.2
∴y＝0.56x﹣26.2，
当x＝172时，y＝0.56×172﹣26.2＝70.12．
故答案为：70.12kg．
【知识点】线性回归方程
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。
17.完成下列各题．
（1）求（3 + ）4的展开式；
（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1．
【分析】（1）解法一：根据二项式展开式定理计算即可；解法二：通分再利用二项式展开式定理计算；
（2）利用二项式展开式定理拟用，计算即可．
【解答】（1）解法一：（3 + ）4＝ • + • • + • • + •
（3 ）• + •
＝81x2+108x+54+ + ；
解法二：（3 + ）4＝ ＝ （81x4+108x3+54x2+12x+1）＝81x2+108x+54+ +
；（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1
＝ •（2x+1）5﹣ •（2x+1）4+ •（2x+1）3﹣ •（2x+1）2+ •（2x+1）﹣ •
（2x+1）0
＝[（2x+1）﹣1]5
＝32x5．
【知识点】二项式定理
18.已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+2，若y＝f（x）在 有极值，且f（x）在点（1，f（1））处的切线斜
率为﹣5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，b进而可求函数解析式；
（2）结合导数可求解函数的单调性，进而可求最值．
【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax+b，
由题意，得 ，
解得， 经检验，符合题意．
所以，f（x）＝x3﹣2x2﹣4x+2；
（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2），
令f'（x）＝0，得 ，x＝2，
2
由f'（x）＞0，解得 或x＞2，f'（x）＜0，解得 ，
∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，3）单调递增．
又f（0）＝2，f（2）＝﹣6，f（3）＝1，
故f（x）在[0，3]上的最大值为2，最小值为﹣6．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的最值
19.在数列{a}中，已知a＞0，a＝1，a 2﹣a2﹣a ﹣a＝0．
n n 1 n+1 n n+1 n
（1）求证：数列{a}是等差数列；
n
（2）设数列{a}的前n和为S，b＝ ，求数列{b}的前n和T．
n n n n n
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的为等差数列．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】证明：（1）由 ，
得（a ﹣a﹣1）（a +a）＝0，
n+1 n n+1 n
因为a＞0，
n
所以a ﹣a＝1，
n+1 n又因为a＝1，
1
所以数列{a}是首项为a＝1，公差为1的等差数列．
n 1
解：（2）由（1）可得，
．
∴ ．
∴T＝b+b+…+b
n 1 2 n
＝
＝ ．
【知识点】数列递推式、数列的求和、等差数列的性质
20.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：
质量指标值m 25≤m＜35 15≤m＜25或35≤m＜ 0＜m＜15或45≤m＜
45 65
等级 一等品 二等品 三等品
某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到右
图的率分布直方图．（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（1）该企业为提高产品质量，开展了质量提升月”活动，活动后再抽样
检测，产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），请测算“质量提升月”活动后这种产品的“二等
品率“（一、二等品其占全部产品百分比）较活动前提高多少个百分点？
（2）若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150元，每件三等品售价120元，以样本中的频率代
替相应概率，现有一名联客随机购买两件产品，设其支付的费用为 X（单位：元），求X的分布列及数学
期望．
【分析】（1）求出样本中一等品和二等品在样本中所占比例为80%，得到100件产品中三等品为15件，
推出一、二等品率增加了5个百分点．
（2）随机变量X的所有可能取值为240，270，300，330，360．求出概率，得到分布列，然
后求解期望即可．
【解答】解：（1）根据抽样调查数据知，样本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100＝80（件）
在样本中所占比例为80%，
活动后产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），所以100件产品中三等品为15件，一、二等品数为100﹣15＝85（件）合格率为85%，
所以一、二等品率增加了5个百分点．
（2）由样品估计总体知，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为 ，二等品的概率为 ，
三等品的概率为 ，
随机变量X的所有可能取值为240，270，300，330，360．
，
，
，
．
，
所以X的分布列为：
X 240 270 300 330 360
P（X）
X的数学期望 ．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列
21.伴随着科技的发展，人们的生活节奏也越来越快．听书，逐渐成为了爱阅读的人们的一种喜好，付费阅
读也成为追求更高价值的途径之一．某网络公司组织统计了近五年来该公司参与付费听书的人数 y；
（单位：人）与时间t（单位：年）的数据，列表如下：
t 1 2 3 4 5
i
y 24 27 41 64 79
i
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 y与t的关系，请计算相关系数并加以说明（计算
结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据 ≈75.47
（2））若节日期间营销部拟对平台商品进行新﹣﹣轮更新调整．针对某地拟购买该商品的消费群体进行
了一个抽样调查，获得一个容量为200的样本，其中青年人有150人，中老年人有50人．在这些消费群体中，付费阅读的青年人有100人，中老年人有24人．
填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关？
青年人 中老年人 合计
付费阅读 100 24
不付费阅读
合计 200
附： ，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
【分析】（1）直接利用相关系数公式求得r值，与0.75比较大小得结论；
（2）填写2×2列联表，求出K2的观测值k，结合临界值表得结论．
【解答】解：（1） ， ，
＝852﹣705＝147， ＝10， ＝2278，
∴r＝ ＝ ≈0.97＞0.75，
∴可用线性回归模型拟合y与t的关系；
（2）填写2×2列联表如图：
青年人 中老年人 合计
付费阅读 100 24 124
不付费阅读 50 26 76
合计 150 50 200
K2的观测值k＝ ≈5.546＞5.024．
∴有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关．
【知识点】线性回归方程
22.已知f（x）＝ C xk（n N*）．
n
∈（Ⅰ）计算 f（﹣1）的值；
k
（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+2f（x）+3f（x）+4f（x），求g（x）中含x4项的系数；
4 5 6 7
（Ⅲ）证明： ＝ ．
【分析】（1）利用赋值法，令x＝﹣1即可算出答案．
（2）写出G（x）的展开表达式，即可找出x4系数的计算式．
（3）构造出关于（1+x）的多项式函数，计算其中的多项式系数，即可予以证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵
＝
＝（1+x）n﹣1，
∴f（﹣1）＝﹣1；
n
∴ ；
（Ⅱ）g（x）＝f（x）+2f（x）+3f（x）+4f（x）
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＝（1+x）4+2（1+x）5+3（1+x）6+4（1+x）7﹣10，
g（x）中的x4项的系数为 ；
（Ⅲ）设h（x）＝（1+x）m+1+2（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n（x≠0与﹣1）①
则函数h（x）中含xm+1项的系数为
，
另一方面，由①×（1+x）得：（1+x）h（x）＝（1+x）m+2+2（1+x）m+3+…+n（1+x）m+n+1 ，
①﹣②得： ， ②
∴ ，
则h（x）中含xm+1项的系数为 ，
，
∴得证 ＝ ．
【知识点】二项式定理
