拓展三含参函数单调性的分类讨论（精讲）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第二套）

拓展三 含参函数单调性的分类讨论 思维导图 常见考法 考点一 导函数为一根 【例1】．（2020·安徽）已知函数 .讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】因为 ，所以 . ①当 时，因为 ，所以 在 上单调递增； ②当 时，令 ，解得 或 . 令 ，解得 ， 则 在 ， 上单调递增；在 上单调递减. 【一隅三反】1．（2020·河南）已知函数 .讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 的定义域为 ， ， 当 时， ，则 在 上是增函数； 当 时， ， 所以 ； 或 ； ， 所以 在 上是减函数，在 和 上是增函数. 2．（2020·山西运城）已知函数 .讨论 的单调性； 【答案】具体见解析 【解析】函数 ，定义域为 ， ， 当 时， . 故 在定义域 上单调递增，此时无减区间. 当 时，令 ，得 ； 当 时， ，故 单调递增； 当 时， ，故 单调递减. 综上所述，当 时， 在定义域 上单调递增，此时无减区间；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. 3．（2020·青海高二期末（理））已知函数， .讨论 的单调性； 【答案】当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 【解析】因为 ，所以 . 当 时， 恒成立， 在 上单调递减； 当 时，由 ，得 ；由 ，得 . 故 在 上单调递减，在 上单调递增. 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 考点二 导函数为两根 【例2】．（2020·四川南充·高二期末（理））已知函数 ， . （1）讨论 的单调性； （2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）当 时，在 上， 是减函数,当 时，在 上， 是减函数,在 上， 是增函数； 【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞） 又 当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数 当a＞0时，由f′（x）=0得： 或 （舍） 所以：在 上，f′（x）＜0，f（x）是减函数 在 上，f′（x）＞0，f（x）是增函数 【一隅三反】 1．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数 ，函数 ．判断函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由题意得 ， ； ∴ ． 当 时， ，函数 在 上单调递增； 当 时，令 ，有 ： 在 上单调递增；令 ，有 ： 在上单调递减； 综上，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． 2．（2020·河南郑州）已知函 讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围. 【答案】答案见解析 【解析】 . 当 时，令 ，得 ， 令 ，得 . 故 在 单调递减，在 单调递增. 当 时，令 ，得 ， . ①当 即 时， ， 在R上单调递增. ②当 即 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增 . ③当 即 时， 在 上单调递减， 在 ， 上单调递增. 3．已知函数 ，讨论函数 的单调性； 【答案】见解析 【解析】因为 ， 所以 . 令 ，解得 或 . 若 ，当 即 或 时， 故函数 的单调递增区间为 ； 当 即 时，故函数 的单调递减区间为 . 若 ，则 ， 当且仅当 时取等号，故函数 在 上是增函数. 若 ，当 即 或 时， 故函数 的单调递增区间为 ； 当 即 时，故函数 的单调递减区间为 . 综上， 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；时，函数 单调递增区间为 ； 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 考点三 不能因式分解 【例3】．（2019·全国湖北·高二期中（文））设函数 讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 定义域为 ， ， 令 ， ①当 时， ， ，故 在 上单调递增， ②当 时， ， 的两根都小于零，在 上， ， 故 在 上单调递增， ③当 时， ， 的两根为 ， 当 时， ；当 时， ；当 时， ； 故 分别在 上单调递增，在 上单调递减. 【一隅三反】 1．（2019·洋县中学月考）已知函数 ，其中 . （Ⅰ）若曲线 在 处的切线与直线 平行，求实数 的值； （Ⅱ）讨论函数 的单调性；【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）答案见解析； 【解析】（Ⅰ） ，∵曲线 在 处的切线与直线 平行， ∴ ，即 ，故 ； （Ⅱ）函数 的定义域为 . 当 时， 恒成立，故 在 上单调递增； ② 当 时， ，令 ，得 . ∵ ，∴方程 有两不等实根 . ∵ ， ，∴ . 令 ，得 或 ；令 ，得 . 综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增. 另法（常规方法）：讨论 的符号. 当 ，即 时， 恒成立，则 ， 在 上递增； ② 当 ，即 或 时，方程 有两不等实根 . （i）当 时，由 知 ，则 恒成立，故 在 上递增； （ii）当 时，由 知 ， 令 ，得 或 ；令 ，得 . 故 在 、 上递增，在 上递减. 综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增. 2．已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】 的定义域为 ， ， 对于 ， ， 当 时， ，则 在 上是增函数. 当 时，对于 ，有 ，则 在 上是增函数. 当 时， 令 ，得 或 ， 令 ，得 ，所以 在 ， 上是增函数， 在 上是减函数. 综上，当 时， 在 上是增函数； 当 时， 在 ， 上是增函数， 在 上是减函数.