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第二学期七校联考
高一数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
2. 在 中，若 ， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为（ ）
.
A 87 B. 87.5 C. 89 D. 91
4. 一个正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 今年6月初，某市采取了鼓励地摊经济的做法，该市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、
图2所示，现用分层抽样的方法抽取 的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数
分别为（ ）
A. 210，24 B. 210，50 C. 1500，24 D. 1500，50
学科网（北京）股份有限公司6. 如图所示，已知 ， ， ， ，则下列等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 一海轮从A处出发，以毎小时40海里的速度沿南偏东 的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C
处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 ，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 ，那
么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8. 定义 ， 是向量 和 的夹角， 、 是两向量的模，若点 、 ，
为坐标原点，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 有一组样本数据 ，由这组数据得到新样本数据 ，则下列结论正确的
是（ ）
的
A. 两组样本数据 样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
10. 已知复数 则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C. D.
11. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的结论有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 则为直角三角形
C. 若 为锐角三角形，则
D. 若 ，则 一定是等腰三角形
12. 在给出的下列命题中，正确的是（ ）
的
A. 设 是同一平面上 四个点，若 ，则点 必共
线
B. 若向量 是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量 都可以表示为 ，
且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量 满足 则 为等腰三角形
D. 已知平面向量 满足 ，且 ，则 是等边三
角形
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.
请把答案填在答题卡的相应位置上.
13. 已知向量 ， 满足： ， ， 与 的夹角为 ，则 ______.
14. 设 ，复平面内 对应的点为 ．如果 满足下列条件： ，则点 的集合对应图形面积
是：________.（计算结果保留 ）
15. 已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互
独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为____________．
学科网（北京）股份有限公司16. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 ________，
________．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各，共70分.解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出
指定区域的答案无效.
17. 已知复数 ， ．
（1）若复数 在复平面上对应的点在第三象限，求实数 的取值范围．
（2）若 ，求 的共轭复数 ．
18. 已知向量 .
（1）求向量 与 的夹角的大小；
（2）若 ，求实数 的值.
19. 如图，在长方体 中，
（1）若该长方体被过顶点A， ， 的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；
（2）若该长方体的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积和表面积.
20. 在 中，角 所对的边分别为 ，且
（1）求角B；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 的面积为 ，BC边上的高 ，求 ， 的值．
21. 东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通
过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量
作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在 之间，根据统计结果，做出
频率分布直方图如图：
（1）求频率分布直方图中 的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数 和中位
数 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出
20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：
年龄
人数
②若从年龄在 的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在
的概率.
22. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）若 ， ，D为边BC上 的中点，求 ；
（2）若E为边BC上一点，且 ， ，求 的最小值.
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