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高一数学期中考试
命题人：夏俊东 审题人：王进
一、单选题（选对得5分，选错得0分）
1. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 4 C. D.
2. 已知 ､ 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3. 已知直线 和平面 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 // ， ，则 //
C. 若 // ， ， ，则 // D. 若 // ， // ，则 //
4. 已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（ ）
.
A B. C. D.
5. 如图， 是水平放置的 的直观图， ， ，则 的面
积为（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A. 150° B. 105° C. 135° D. 120°
7. 在三棱锥 中， ，则三棱锥 外接
球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，扇形的半径为1，且 ，点C在弧 上运动，若 ，则 的最
大值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
二、多选题（选对得5分，选错得0分，选不全得2分）
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若存在实数 ，使得 ，则
B. 若 ，则若存在实数 ，使得
C. ， 为非零向量，若 ，则 与 方向相同
D. 已知长度相等的三个非零向量 、 、 满足 ，则 是等边三角形．
10. 在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有（ ）
A. 若 ， 是两个复数，则 一定是实数
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司C. 方程 的根是
.
D
11. 如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A. 直线 与 为异面直线
B. 平面
C.
D. 三棱锥 的体积为
12. 在棱长为3的正方体 中，M是 的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法
正确的是（ ）
A. 存在点N，使得
B. 三棱锥M— 的体积等于
.
C 有且仅有两个点N，使得 平面
D. 有且仅有三个点N，使得N到平面 的距离为
三、填空题（做对得5分，做错得0分）
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知向量 ，且 ，则 和 的值_________
14. 已知圆锥 高为 ，体积为 ，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
的
15. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC
与BD所成的角为90°，则MN＝________.
16. 如图，在直三棱柱 中， 是边长为2的正三角形， ，M为 的中点，P
为线段 上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）
① 平面 ②三棱锥 的体积的取值范围为
③ 与 为异面直线 ④存在点P，使得 与 垂直
四、解答题
17. 如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的
直径为5 cm，求该组合体的体积和表面积
18. 已知向量 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 ；
（2）若向量 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围.
19. 已知复数 和它的共轭复数 满足 ．
（1）求z；
（2）若z是关于x的方程 的一个根，求复数 的模．
20. 已知 的内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
21. 在三棱锥 中， 底面ABE，AB⊥AE， ，D是AE的中点，C是线
段BE上的一点，且 ，连接PC，PD，CD.
（1）求证： 平面PAB；
的
（2）求点E到平面PCD 距离.
22. 重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前
点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达 点.小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米
后到达陶行知纪念馆 点，后又沿着南偏西 的方向行走到达国旗杆下 点，经过测量发现
.设 ，如图所示.
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学科网（北京）股份有限公司（1）设国旗杆底 点到行知大道的最短距离为 ，请用 表示 的解析式；
（2）求小王走过的路程 的最大值.
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