文档内容
高一数学试题
全卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填
写在答题卡上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知复数z满足 ，则z=（ ）
A. B.
.
C D. 2－i
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求解即可.
【详解】 ，
故答案为：C．
2. 若复数 对应的点是 ，则 （ ）
A. B. C. -1 D. 1
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由题得 ，代入 化简即得解.
【详解】由题得 .
故选：B
3. 已知在平行四边形ABCD中， ， ，对角线AC与BD相交于点M， （
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量加法的几何意义可得 ，应用向量线性运算的坐标表示，即可求
的坐标.
【详解】由题设， .
故选：D.
4. 在 中，若 ， ， ，则此三角形解的情况为（ ）
A. 无解 B. 两解
C. 一解 D. 解的个数不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理求出 的值，结合大边对大角定理可得出结论.
【详解】由正弦定理，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，
因为 ，则 ，故 为锐角，故满足条件的 只有一个.
故选：C.
5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两
个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体
的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半
圆，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥底面周长可求得圆锥的底面半径 ，圆锥的高 ，利用圆锥的体积公式和祖暅原
理，即得解
【详解】圆锥底面周长为 ，
所以圆锥的底面半径 ，圆锥的高 ，
所以圆锥的体积为 ，
由祖暅原理，该几何体的体积也为 .
故选：C
6. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积
为 ，则这个漏斗的容积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；
【详解】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，
故个漏斗的容积为 ，
故选：A
7. 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，
∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（ ）
A. 5 m B. 15 m C. 5 m D. 15 m
【答案】D
【解析】
【分析】在 中，由正弦定理，求得 ，再在 中，即求 .
【详解】在△BCD中， ，
由正弦定理得 ，
解得 (m），
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学科网（北京）股份有限公司在
Rt△ABC中， (m).
故选：D
8. 设点 为正方形 的中心， 为平面 外一点， 为等腰直角三角形，且
，若 是线段 的中点，则（ ）
A. ，且直线 、 是相交直线
B. ，且直线 、 是相交直线
C. ，且直线 、 是异面直线
D. ，且直线 、 是异面直线
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，推导出四边形 是等腰梯形，结合等腰梯形的几何性质可得结论.
【详解】连接 ，如下图所示：
由题意 ， ， ， ，则 ，
所以， ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
因为 ，故四边形 是等腰梯形，
所以， ，且直线 、 是相交直线.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 直线在平面内 D. 相切
【答案】AC
【解析】
【分析】画出图形，分析出这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.
【详解】如图1所示， 与 平行， ，而直线 在平面 内，
如图2所示， 与 平行， ，而 .
综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平
面内.
故选：AC
10. 已知 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A. B. 复数 的虚部为
C. 若复数 为纯虚数，则 D. 若 为复数，则 为实数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的乘方、虚部的概念、纯虚数的概念与复数的几何意义、共轭复数的概念与运算依次判
断选项即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A： ，故A正确；
B：对于复数 的虚部为-1，故B错误；
C：由复数z为纯虚数，设 ( )，
则 ，所以 ，故C错误；
D：设复数 ( )，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：AD
11. 已知 中，其内角A，B，C的对边分别为a，b， 下列命题正确的有（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若A>B，则
D. 若 ， ，则 外接圆半径为10
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可判断A；利用正弦定理和余弦定理求解即可判断B；利用正弦定理即可判
断C、D.
【详解】A.因为 ， ， ，
由余弦定理得： ，解得 ，故A正确；
B.因为 ， ， ，由正弦定理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，故B正确；
C.因为 ，所以 ，
为
由正弦定理，得 (R 外接圆半径)，
所以 ，故C正确；
D.因为 ， ，设R为 外接圆半径，
由正弦定理， ，所以 ，故D错误.
故选：ABC
12. 如图，在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水(未满)，现将容器底面一边 固
定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）
A. 水的部分始终呈棱柱状
B. 水面四边形 的面积为定值
C. 棱 始终与水面 平行
D. 若 ， ，则 是定值
【答案】ACD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用棱柱的定义即可判断选项A，由水面四边形 的边长在变化，即可判断选项B，利用线
面平行的判定定理即可判断选项C，由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出 为定值，即可
判断选项D
【详解】解：由于四边形 与四边形 全等，且平面 ‖平面 ，则由棱柱的定
义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确，
因为 ‖ ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以
，因为 ‖ ， ，所以因为四边形 为矩形，所以水面四边形 的
面积等于 ，因为水面四边形 的边长 不变， 在变化，所以水面四边形 的面
积在变化，所以B错误，
容器底面一边 固定在底面上时， ‖ ‖ ，所以由线面平行的判定定理可知，棱 始终与
水面四边形 平行，所以C正确，
如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值 ，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，
另一部分下降相同的高度 ，设 ，则 ，所以 为定值，
所以当 ， 时， 是定值，所以D正确，
故选：ACD
第II卷
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 ，且 ，则 _______.
【答案】2
【解析】
【详解】由题意可得 解得 .
【名师点睛】（1）向量平行： ， ,
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学科网（北京）股份有限公司.
（2）向量垂直： .
（3）向量的运算： .
14. 已知正方体 的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的表面积是
__________．
【答案】 .
【解析】
【分析】正方体的对角线为外接球的直径，进而根据题意求出外接球的半径，最后求出表面积.
【详解】根据题意正方体的对角线为外接球的直径，正方体的棱长为2，易得对角线长度为 ，所以外
接球的半径 ，则外接球的表面积为： .
故答案为： .
15. 若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.
【答案】100
【解析】
【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计
算得解.
【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为
1，4，
而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高 ，
因此，侧面积 ，
所以所求的侧面积为100.
故答案为：100
16. 已知 是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为 ， ， ， ， ，则最大边 的
取值范围是_________．（结果用区间表示）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（5，7）
【解析】
【分析】由题意可得 为钝角，由余弦定理结合 即可求解.
【详解】因为 是钝角三角形，最大边为 ，所以角 为钝角，
在 中，由余弦定理可得：
，可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以最大边 的取值范围是： ，
故答案为： .
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
.
17 知非零向量 和 不共线.
（1）如果 ＝ ＋ ， ＝2 ＋8 ， ＝3（ － ），求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使向量k ＋ 与 ＋k 平行，试确定实数k的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）±1.
【解析】
【分析】（1）利用共点向量的共线证明三点共线即可；
（2）利用向量共线可得 ，又非零向量 和 不共线，只能 ，求解即
可.
【详解】（1）因为 = ＋ = =5 ，
且 为非零向量，所以 与 共线，即A，B，D三点共线.
（2）因为k ＋ 与 ＋k 平行，且两向量都为非零向量，
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学科网（北京）股份有限公司所以存在实数λ使得k ＋ = ＋k 成立，
即 ,
因为e 和e 不共线，
1 2
所以 所以k＝±1.
18. 在 中，内角A，B，C对应的边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求角B的大小；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1） ；
（2）3.
【解析】
【分析】(1)根据正弦定理可得 ，结合同角的三角函数关系和角B的范围即可求解；
(2)根据三角形的面积公式可得 ，利用余弦定理求得 ，即可得解.
【小问1详解】
在 中，由正弦定理得 ，
∵ ，代入化简得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，又显然 ，即 ，
∴ ，又∵ ，∴ .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，由 ，得 ．
在△ABC中，由余弦定理，得
∴ ，
∴ ，∴△ABC的周长为3．
19. 如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点．
（1）求证： 平面 ；
的
（2）求点 到平面 距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据线面平行判定定理，结合中位线定理，可得答案；
（2）由题意，根据等体积法，可得答案.
【小问1详解】
如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司连接BD与AC交于点O，连接OE，∵E，O为中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
【小问2详解】
设点B到平面ACE的距离为d，
在 中， ，
在 中， ，
，又∵O为CA中点， ，
在 中， ，
则 ，
即 ，
∵在正方体 中，点E到平面ABC的距离为DE，
， ，则 ，即 .
20. 如图，在 中， ， ，点 在线段 上．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据三角形的性质，结合正弦定理，可得答案；
（2）由题意，根据余弦定理，求得 的长，由正弦定理，可得 ，
，结合 ，可得答案.
【小问1详解】
∵ ，则 为锐角，∴ ，
，则 ，在 中，由正弦定理得 ，
，解得 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，故 ， ，
由余弦定理可得
，
在 中，由正弦定理可得 ，
故 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
故 ，
∵ ，
∴
21. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析（2）Q是PB的中点,见解析
【解析】
【分析】
（1）取 中点 ，连 、 ，中位线定理和四边形 为平行四边形可得 ，
，根据平面与平面平行的判定定理可证得平面 平面 ；故可得 平面 ．
（2）由（1）可知问题的答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】证明：（1）取 中点 ，连 、 ，
、 分别是 、 的中点，
，
，
，
， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面
平面 平面 ，
平面 ，
面 ；
（2）由（1）可知 在 的中点上时，平面 平面 .
【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质和判定，其中判断线面平行
最常用的两种方法，就是根据线面平行的判定定理．
22. 已知半圆圆心为 ，直径 ， 为半圆弧上靠近点 的三等分点，若 为半径 上的动点，
以 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司（1）直接写出点 、 、 的坐标；
（2）若 ，求 与 夹角 的大小；
（3）若 ，当 得最小值时，求点 的坐标及 的最小值．
【答案】（1） ， ，
（2）
（3）最小值为 ，点 的坐标为
【解析】
【分析】（1）由图可标出点 、 、 的坐标；
（2）由平面向量数量积运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；
（3）设 ，即可表示出 、 ，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的
性质计算可得．
【小问1详解】
解：因为半圆的直径 ，所以 ， ，
又 ， ，
则 ，即 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：由（1）知， ，
∴ .
则 ，
又∵ ，∴ ，即 与 的夹角 为 .
【小问3详解】
解：设 ，
由（1）知， ，
故 ，
∴ ，
又∵ ，∴当 时， 有最小值为 ，
此时点 的坐标为
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学科网（北京）股份有限公司第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
