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期中检测卷 05
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（3 + + ）﹣（2 + ﹣ ）＝（ ）
A． ﹣ +2 B．5 ﹣ +2 C． + +2 D．5 +
2.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
3.设i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．2 D．2
4.已知复数z＝（1+i）（a﹣i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）
5.三棱柱ABC﹣ABC 中，AA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝ ＝2，则三棱柱ABC﹣
1 1 1 1
ABC 的外接球的表面积为（ ）
1 1 1A．32 B．16 C．12 D．8
π π π π
6.如图，点 M 是正方体 ABCD﹣ABC D 的棱 CD 的中点，则异面直线 AM 与 BC 所成角的余弦值是
1 1 1 1 1
（ ）
A． B． C． D．
7.如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，
使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（
）
A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB＝2AN
8.在△OAB中，已知 ，∠AOB＝45°，点P满足 （ ，µ R），其中
λ ∈2 +µ＝3满足，则| |的最小值为（ ）
λ
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）
9.△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量 满足 ， ，则下列结论中正确的有（
）
A． 为单位向量 B．
C． D．
10.已知 ， 是两个单位向量， R时，| + |的最小值为 ，则下列结论正确的是（ ）
λ∈ λ
A． ， 的夹角是 B． ， 的夹角是 或
C． + |＝1或 D． + ＝1或
11.如图，在正四棱柱ABCD﹣ABC D 中， ，E，F分别为AB，BC的中点，异面直AB 与C F
1 1 1 1 1 1
所成角的余弦值为m，则（ ）
A．m＝ B．直线AE与直线C F共面
1 1
C．m＝ D．直线AE与直线C F异面
1 1
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣ABC D 中，P为棱CC 上的动点（点P不与点C，C 重合），过
1 1 1 1 1 1
点P作平面 分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
αA．AC⊥平面 B．存在点P，使得AC ∥平面
1 1
α α
C．存在点P，使得点A 到平面 的距离为
1
D．用过P，M，D 三点的平面去α截正方体，得到的截面一定是梯形
1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.设复数z，z 满足|z|＝1，|z|＝2， ，则|z﹣z|＝ ．
1 2 1 2 1 2
14.已知向量 ， 的夹角为45°，若 ＝（1，1），| |＝2，则|2 + |＝ ．
15.如图，在△ABC中， ＝2 是BD上一点，且 ＝ + （ R），则 的值等于 ．
λ λ∈ λ
16.在如图直四棱柱ABCD﹣ABC D 中，底面ABCD为菱形，AA ＝2AB＝4，∠BAD＝60°，点M为棱AA
1 1 1 1 1 1
的中点，若N为菱形ABC D 内一点（不包含边界），满足MN∥平面BDC ，设直线MN与直线CC
1 1 1 1 1 1
所成角为 ，则tan 的最小值为 ．
α α四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.已知复数z＝ +（a2﹣1）i，z＝2+2（a+1）i（a R，i是虚数单位）．
1 2
（1）若复数z﹣z 在复平面上对应点落在第一象限，求∈实数a的取值范围；
1 2
（Ⅱ）若虚数z 是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，求实数m 值．
1
18.已知复数z＝m（m﹣1）+（m2﹣1）i，其中m R，i是虚数单位．
（Ⅰ）当m为何值时，复数z是纯虚数？ ∈
（Ⅱ）若复数z对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上，求z的模|z|．
19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD＝4，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别
为AD，PD的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面MNC所成角的余弦值．20.如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AD＝DC＝AC，且CP⊥平面PAD，E为
AD的中点
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PCE；
（Ⅱ）若PA＝ AD，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值．
21.如图，在三棱柱ABC﹣ABC 中，平面AACC ⊥平面ABC，△ABC和△AAC都是正三角形，D是AB
1 1 1 1 1 1
的中点
（1）求证：BC ∥平面ADC；
1 1
（2）求直线AB与平面DCC 所成角的正切值．
122.如图，在四棱柱C﹣ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AB∥EF，
∠ABE＝90°，BE＝EF＝1，点M为BC的中点
（Ⅰ）求证：EM∥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值；
（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为 ，若存在求出EN的长，
若不存在说明理由．
