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房山区 2023 年高三年级第二次模拟考试
数 学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合间得关系及交集和并集的定义逐一判断即可.
【详解】 ．
故选：B．
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.
【详解】 ，
在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限.
故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.
3. 已知等比数列 的各项均为正数， 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列方程组来求得 .
【详解】设等比数列 的公比为 ，
则 ， ， ，
两式相除得 ，解得 （负根舍去），
所以 .
故选：C
4. 已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果.
【详解】由条件可知
.故选：C
5. 下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数 不是偶函数，判断选项 A，根据函数
的定义域判断选项B，判断得 ，从而得函数 为偶函数，结合三角函
数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项 C，根据 ，得函数 为偶
函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.
【详解】对A，二次函数 的对称轴为 ，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数 的定义域为 ，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C， ，
定义域为 ，所以函数 是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数 无最小值，故C错误；
对D， ，定义域为 ，
所以函数 是偶函数，因为 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 有最小值 ，故D正确.
故选：D6. 已知圆 的圆心在抛物线 上，且此圆 过定点 ，则圆 与直线 的位置关系为（
）
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
根据抛物线的定义可知， 到焦点的距离等于到准线的距离，
所以圆 与直线 相切.
故选：A
7. 高为 、满缸水量为 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水
深为 时水的体积为 ，则函数 的大致图像是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的自变量为水深 ，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】根据题意知，函数的自变量为水深 ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当 时，体积 ，
所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快
再慢的，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关
键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8. 已知双曲线 的方程为 ，点 ， 分别在双曲线的左支和右支上，则直线 的斜率的取值
范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线 的斜率的取值范围.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，斜率为 ，
依题意，点 ， 分别在双曲线的左支和右支上，
所以直线 的斜率的取值范围是 .
故选：A
9. 已知函数 则“ ”是“ 在 上单调递减”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】求得 在 上单调递减时 的取值范围，从而判断出充分、必要条件.
【详解】若 在 上单调递减，
则 ，解得 .
所以“ ”是“ 在 上单调递减”的必要而不充分条件.
故选：B
10. 设集合 ，则（ ）
A. 当 时， B. 对任意实数 ，
C. 当 时， D. 对任意实数 ，
【答案】C
【解析】
【分析】依据选项将点 代入验证即可.
【详解】当 时， ，
将 代入A得： 成立，故 ，即A错误；
若 时，此时将 代入 不成立，即B错误；
当 时，此时将 代入 不成立，即C正确；若 时，此时将 代入A得 成立，即D错误；
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若 ，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用赋值法即可求解系数和.
【详解】在 中，
令 得： ，
故答案为：1.
.
12 已知角 终边过点 ，角 终边与角 终边关于 轴对称，则 ______；
______．
【答案】 ①. ②. ##0.6
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出角 的正切值，得到点 关于 轴的对称点，即可求得 ，
再结合余弦的差角公式即可得到结果.
【详解】由题意，角 终边过点 ，由三角函数定义知： ，
， ，
由角 终边与角 终边关于 轴对称得角 的终边过点 ，所以 ， ，
故 .
故答案为： ， .
13. 已知函数 ，给出两个性质：
① 在 上是增函数；
②对任意 ， ．
写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式， _______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】取函数 ，检验条件①②即可.
【详解】取函数 ，由指数函数的单调性可知，
函数 在 上为增函数，满足性质①；
因为 恒成立，所以 恒成立，
所以对任意 ， ，满足性质②.
故答案为： （答案不唯一）
14. 若函数 的图象与直线 有两个交点，则这两个交点横坐标的和为
_______．
【答案】
【解析】【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.
【详解】当 时， ，
由 解得 ，
所以两个交点横坐标的和为 .
故答案为：
15. 如图所示，在正方体 中， 是棱 上一点，平面 与棱 交于点 ．给
出下面几个结论：
①四边形 是平行四边形；
②四边形 可能是正方形；
③存在平面 与直线 垂直；
④任意平面 与平面 垂直；
⑤平面 与平面 夹角余弦的最大值为 ．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】通过几何性质得出四边形 的形状，由线线、线面垂直即可得出面 与直线 和面 的关系，以及面 与面 夹角余弦的最大值.
【详解】由题意，
在正方体 中， 是棱 上一点，平面 与棱 交于点 ，
由平面 平面 , 并且 四点共面，
∴ , 同理可证， ，
故四边形 一定是平行四边形，故①正确；
②在正方体 中， 是连接正方体上任意两个点组成的线段中最长的，当
时，四边形 是矩形，所以四边形 不可能是正方形，
故②错误；
③由几何知识得, 面 ， 小于 ，
若直线 与平面 垂直，则直线 ，
.
∴平面 与直线 不可能垂直，故③错误
④设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，
由几何知识得， ,
∴ ,
∵ ，
∴ ，∵ 面 ， 面 ， 面 ，
∴ 面 ，
∵ 面 ，
∴任意平面 与平面 垂直，故④正确.
⑤由几何知识得，当点 和 分别是对应边的中点时, 平面 与面 夹角最大，
∵
为： ,故⑤正确.
故答案为：①④⑤.
【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的证明，考查学生的数形结合能力，转化能力，逻辑推理能力与运
算求解能力，考查直观想象，数学运算和立体几何的画图能力，具有极强的综合性.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ， ， ．
（1）求 ；
（2）若角 为钝角，求 的周长．
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）用二倍角公式及正弦定理即可求解；
（2）用角 余弦定理即可求出 .
【小问1详解】在 中，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
由 ，得 ，
解得
【小问2详解】
因为 ， 为钝角，所以 ，
由 得 ，
整理得 ，解得 或 （舍），所以 .
所以 的周长为 .
17. 如图，已知直三棱柱 中， ， 为 中点， ，再从条件①，条件
②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明详见解析
（2）条件选择见解析，直线 与平面 所成角的正弦值为
【解析】
【分析】（1）若选① ，则通过证明 平面 来证得 .若选②，则先证明
，然后通过证明 平面 来证得 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】
若选择条件①: ，连接 ，
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 .
在三角形 中， ， 为 的中点，所以 ，由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，所以 ，
由于 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 .
若选择条件②： ，连接 ，
由于 是 中点，所以 ，
根据直三棱柱的性质可知 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 .
由于 ，所以 ，
所以 ，则 ，则 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 ，由于 平面 ，所以 .
【小问2详解】
先得到 :
若选①，则在 中，由 ，得 ，
又 ，所以 ， .
若选②，则 .
在三角形 中， ，所以 ，
所以 ，
根据直三棱柱的性质可知 ， ，
以点 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
18. 2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中
生每天睡眠时间应达到 小时． 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学
生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图．
（1）从该校高一年级学生中随机抽取 人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于 小时的概率；
（2）从该校高二年级学生中随机抽取 人，这 人中平均每天的睡眠时间为 小时或 小时的人数记为
，求 的分布列和数学期望 ；
（3）从该校高一年级学生中任取 人，其平均每天的睡眠时间记为 ，从该校高二年级学生中任取 人，
其平均每天的睡眠时间记为 ，试比较方差 与 的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）（2）分布列详见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公司号求得正确答案.
（2）先求得高二学生平均每天的睡眠时间为 小时或 小时的概率，然后根据二项分布的知识求得
的分布列和数学期望 .
（3）通过观察条形图求得正确答案.
【小问1详解】
记事件 为“从该校高一学生中随机抽取 人，该生平均每天的睡眠时间不少于 小时”，
样本中高一学生人数为： ，
其中平均每天的睡眠时间不少于 小时的人数为 ，
则： .
【小问2详解】
从高二年级学生中随机抽取1人，
其平均每天的睡眠时间为 小时或 小时的概率为 .
的可能取值为
.
的分布列为：.
【小问3详解】
通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性，
根据方差的定义可知： .
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的最小值；
（3）证明：
【答案】（1）
（2）
（3）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）利用导数研究 在区间 上的单调性，由此求得 在区间 上的最小值.
（3）结合（2）的结论证得不等式成立.
【小问1详解】
.
所以 ， ，
所以 在点 处切线的方程为 ，
.
即
【小问2详解】当 时， ， ，
令 ，则 .
当 时， ，所以 在 单调递减.
所以 .
所以 ，函数 在 上单调递减.
函数 在 上单调递减.
所以 ，即函数 的最小值为 .
【小问3详解】
由（2）可知 在 上单调递减.
又因为 ，
所以 .
所以 ，即
20. 已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ． 椭圆 的左、右顶点分别为
， 为椭圆 上异于 的动点， 交直线 于点 ， 与椭圆 的另一个交点为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 是否过 轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．
【答案】（1）（2）经过定点，定点为
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解 、 、 即可；
（2）使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，得到 、 两
点的坐标，求出其方程，化简为直线的点斜式方程即可得到定点坐标.
【小问1详解】
椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ，
， 解得 ，
椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
在直线 上，则点 ，
由 ，得 ，
由 ,得 ，
，，
，
，
直线 过定点 .
【点睛】（1）利用椭圆的基本性质，结合椭圆的定量关系 可求得所要的椭圆方程；
（2）直线经过定点问题，使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的
坐标，这样得到直线 上两点，写出直线方程，化为 点斜式的方程，可得到直线所过
的定点.
21. 若 项 数 为 的 有 穷 数 列 满 足 ： ， 且 对 任 意 的
， 或 是数列 中的项，则称数列 具有性质 ．
（1）判断数列 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）设数列 具有性质 ， 是 中的任意一项，证明： 一定是 中的项；
（3）若数列 具有性质 ，证明：当 时，数列 是等差数列．
【答案】（1）数列 具有性质 ，理由见解析；
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】【分析】（1）由数列 中，得到 ，一定是数列 中的项，即可求解；
（2）根据题意，得到 一定不是数列 中的项，进而证得 一定是数列 中的项；
（3）根据题意得到 ，且 ，进而得到 ，得到 ，当
，证得 ，当 ，得到 ，由 时，得到
，两式相减得出 ，结合等差中项公式，即可
.
求解
【小问1详解】
解：数列 具有性质 .
理由：根据有穷数列 满足： ，且对任意的 ， 或
是数列 中的项，则称数列 具有性质 ，
对于数列 中，若对任意的 ，可得 或 或 ，
可得 一定是数列 中的项，所以数列 具有性质 .
【小问2详解】
证明：由 是数列 中的任意一项，
因为数列 具有性质 ，即 或 是数列 中的项，
令 ，可得 或 是数列 中的项，
又因为 ，可得 一定不是数列 中的项，
所以 一定是数列 中的项.
【小问3详解】
解：由数列 具有性质 ，可得 ，所以 ，则 ，且 ，
又由 ，所以 ，
又由 ，
①设 ，因为
可得 ，
当 时，可得 ， （ ）
②设 ，则 ，所以 ，
由 ，
又由 ，
可得 ，
所以 ，
因为 ，由以上可知： 且 ，
所以 且 ，所以 ，（ ）
由（ ）知，
两式相减，可得 ，
所以当 时，数列 为等差数列.
