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2022 北京东城高三一模
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 ，利用并集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，因此， .
故选：D.
2. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.
【详解】A. 函数 的定义域为 ，值域为R；
B. 函数 的定义域为R，值域为 ；
C. 函数 的定义域为R，值域为R；D. 函数 的定义域为 ，值域为 ，
故选：C
3. 已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】由 ，所以 的虚部为 ，
故选：B
4. 已知数列 的前 项和 ，则 是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列的第 项与前 项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以当 时，有 ，
，得 ，
当 时， 适合上式，
因为 ，
所以该数列是以2为公差的等差数列，
故选：A
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简，再代入计算可得；
【详解】解：因为 ，所以
；
故选：C
6. 已知正方体 的棱长为1， 为 上一点，则三棱锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 为 到平面 的距离， 所以根据体积法可得 ，代入数值即可得
解.
【详解】
由 为正方体，
显然 为 到平面 的距离，所以 ，
故选：D
7. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节
气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3
个节气中含有“立春”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】这3个节气中含有“立春”的概率为 ,
故选：B
8. 已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若 ，由基本不等式可得 ，则 ， ，
所以，“ ” “ ”；
若 ，可取 ， ，但 ，
所以，“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
9. 在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点， ，若的
，则当 ， 变化时，点 到点 距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得A， 两点坐标，根据 得到 ，再结合 可得到C轨迹
为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由 得 ，
故 由 得 ，
由 得 ，设 ，则 ，
即 ，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则 ，
整理得 ，代入到 中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆 上，
故点（1,1）到点 距离的最大值为 ，
故选：B
10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过 天后，用户人数 ，其中 为
常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题
取 ）A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】经过 天后，用户人数 ，根据题意可求得 ，由小程序发布经过10天
后有2000名用户，可得 ，当用户达到50000名时有 ，根据对数运算，即可
求得答案.
【详解】 经过 天后，用户人数
又 小程序在发布时已有500名初始用户
又 小程序发布经过10天后有2000名用户
即 ，可得
……①
当用户达到50000名时有
即 ，可得
……②
联立①和②可得 ，即
故
用户超过50000名至少经过的天数为34天
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在 的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式 的通项公式为 ，
令 ，所以常数项 为，
故答案为：
12. 已知向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则
________.
【答案】5
【解析】
【分析】设出互相垂直的两个单位向量，根据向量的加法表示出 ， ，利用数量积的运算律求解即
可.
【详解】设网格中方向向右，向上的单位向量分别为 ，且 ，
则 , ,
所以 ，
故答案为：5
13. 已知抛物线 过点 ，则 ________；若点 ， 在 上， 为的焦点，且 ， ， 成等比数列，则 ________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据点 在抛物线 上，代入可得 ，再由抛物线定义可得
， ， ，又 ， ， 成等比数列，代入
即可得解.
【详解】由抛物线 过点 ，
可得 ，所以 ，
根据抛物线定义可得 ，
， ，
由 ， ， 成等比数列，
所以 ，
可得 ，
所以 .
故答案为： ， .
14. 已知函数 ，若 ，则不等式 的解集为_______；若 恰有两
个零点，则 的取值范围为_____．
【答案】 ①. ； ②.【解析】
【分析】第一空：直接代入 ，分 和 解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为
和 的实数根的个数为2，分 、 和 依次讨论根的情况，
即可求解.
【详解】第一空：若 ，则 ，当 时，由 解得 ，则
；
当 时，由 ，解得 ，则 ；综上可得不等式 的解集为 ；
第二空： 恰有两个零点等价于 和 的实数根的个数为2.
当 时， 显然无解； 解得 （舍去），也无解，不合题意；
当 时， 显然无解； 的判别式 ，设 的
两根为 ，
则 ，显然两根一正一负，即 有1个实根，不合题意；
当 时，令 的对称轴为 ，则 在 单减，则
，则 无解；
，显然 时不成立，则 ，令 ，则 ，显然
在 上单减，在 单增，
则 ，又 ， ，则 时， 有2个
根，即 恰有两个零点；综上： .
故答案为： ； .
15. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段 表示角楼的高， ， ， 为
三个可供选择的测量点，点 ， 在同一水平面内， 与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方
案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.（只需写出一种方
案）
① ， 两点间的距离；
② ， 两点间的距离；
③由点 观察点 的仰角 ；
④由点 观察点 的仰角 ；
⑤ 和 ；
⑥ 和 .
【答案】①③④或②③⑤
【解析】【分析】若要求角楼的高即 长，必要知道一边长，若知 ， 两点间的距离 长，在梯形
中解 和 即可，此时可选①③④；若知 ， 两点间的距离即 长，则解 和
即可得解，此时可选②③⑤.
【详解】经分析可知，若选①③④，
在 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，其中各个量均已知；
若选②③⑤，
已知 和 ，则 ，
由 ，
所以 ，
所以 其中各个量均已知.其他选择方案均不可求得 长.
故答案为：①③④或②③⑤
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数
存在且唯一确定．
（1）求 的解析式；
（2）设 ，求函数 在 上的单调递增区间．
条件①： ；
条件②： 为偶函数；
条件③： 的最大值为1；
条件④： 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）先由降幂公式得 ，故 为奇函数，排除条件②，若选
①③， 不唯一，不合题意；若选①④由 及周期解出 即可；若选③④由最大值及周期
解出 即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出 ，再令
解出单调区间，最后写出在 上的单调递增区间即可.
【小问1详解】
，易知 为奇函数，故条件②不成立，舍去.
若选①③，则 且 ，故 ， ，解得 ，
故 不唯一，不合题意；
若选①④， 且 ，故 ，解得 ， ，存在且唯一，故
；
若选③④，则 且 ，故 ，解得 ， ，故 ，存
在且唯一，故 ；
【小问2详解】
，令
，
解得 ，当 时， ，当 时， ，故函数 在 上的单调递增区间为 .
17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 为线段
上一点.
（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【
小问1详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为 ，
所以 ，即 ，【小问2详解】
设平面 的法向量为 ，
，
所以有 ，
因 为直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
解得 ，即 ，因为 ，
所以点 到平面 的距离为：
.
【点睛】
18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例
（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度 大学 大学 硕士 博士
未上学 小学 初中 高中
性别 专科 本科 研究生 研究生
男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00
合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01
（1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1
人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为
X，求X的分布列和数学期望；
（3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9
年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为 年和 年，依据表
中的数据直接写出 与 的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1） ;
（2）答案见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）结合概率乘法的计算公式即可求出结果；
（2）求出X的可能取值，进而求出对应的概率，即可求出结果；
（3）根据平均数的概念即可得出结论.
【小问1详解】
因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06，
则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85％ ；
【小问2详解】
该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.23+0.06+0.01=0.3，
X的可能取值为0，1，2，
则 ,
,
,
故X的分布列为0 1 2
0.49 0.42 0.09
,
【小问3详解】
由题意，男性平均受教育年限为 ，
女性平均受教育年限为 ，
则 .
19. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 的值；
（2）若 在 上有最大值，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ，即可求得实数 的值；
（2）分 、 、 三种情况讨论，利用导数分析函数 的单调性，利用函数的最值与
极值的关系可求得实数 的取值范围.
【小问1详解】
解：函数 的定义域为 ，
，
由已知可得 ，解得 .
【小问2详解】解：因为 ，令 .
①当 时，对任意的 ， 恒成立，则 ，
此时函数 在 上单调递减，没有最大值；
②当 时， 在 上单调递减，则 ，则 ，
此时函数 在 上单调递减，没有最大值；
③当 时，方程 的两根分别为 ， ，
由 可知 ，列表如下：
增 极大值 减
所以函数 在 处取得最大值，
综上所述，实数 的取值范围是 .
20. 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.是否存在常数 ，使得直线 与直线
的交点 在 ， 之间，且总有 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）由 求出 ，再根据 求出 ，可得结果；
（2）设 ， ，联立直线 与椭圆方程，由韦达定理得到 与 ，将
化为 ，即 ，再结合韦达定理可得 对 恒
成立，从而可得 .
【小问1详解】
由题意可知， ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
则 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
依题意可得 ，
因为 在 ， 之间，所以 ，所以 ,
因为 ，
所以 得 ，
得 ，
得 ，
将 ， 代入上式并整理得 ，对 恒成立，
所以 ，即 ，
故存在常数 ，使得直线 与直线 的交点 在 ， 之间，且总有 .
【点睛】关键点点睛：利用平面集合知识将 化为 后，再结合韦达定理求解是
解题关键.
21. 设数列 .如果 ，且当 时，
，则称数列A具有性质 .对于具有性质 的数列A，定义数列 ，
其中 .（1）对 ，写出所有具有性质 的数列A；
（2）对数列 ，其中 ，证明：存在具有性质 的数列
A，使得 与 为同一个数列；
（3）对具有性质 的数列A，若 且数列 满足 ，
证明：这样的数列A有偶数个.
【答案】（1） 、 、
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列 的定义，得到 且 ， ， ，确定 ，按照
或 分别讨论可得答案；
（2）设数列 ： 中恰有 项为1，在按照 、 、 三种情况分别讨论
可证结论；
的
（3）按照 奇偶分类讨论，结合数列 的定义可证结论.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，则
因为 ， ， ，所以 ， ， ，
又 ，
所以 ， 或 ，
当 时， ，
当 时， 或 ，综上所述：所有具有性质 的数列A为： 、 、 .
【小问2详解】
由于数列 ： ，其中 ，
不妨设数列 ： 中恰有 项为1，
若 ，则 符合题意，
若 ，则 符合题意，
若 ，则设这 项分别为 ，
构造数列 ，令 分别为 ，
数列 的其余各项 分别为 ，
经检验数列 符合题意.
【小问3详解】
对于符合题意的数列 ，
①当 为奇数时，存在数列 符合题意，
且数列 与 不同， 与 相同，
按这样的方式可由数列 构造出数列 ，
所以 为奇数时，这样的数列 有偶数个，
当 时，这样的数列 也有偶数个，
②当 为偶数时，
如果 是数列 中不相邻的两项，交换 与 得到数列 符合题意，
且数列 与 不同， 与 相同，
按这样的方式可由数列 构造出数列 ，
所以这样的数列 有偶数个，如果 是数列 中相邻的两项，由题设知，必有 ， ， ，
除这三项外， 是一个 项的符合题意的数列 ，
由①可知，这样的数列 有偶数个，
综上，这样的数列 有偶数个.
【点睛】关键点点睛：正确理解数列的定义，并利用定义求解是解题关键.
