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强化训练 4 三角函数中的综合问题
1.(2020·北京东城区模拟)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自
成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几
何？”(一步≈1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为
( )
A.135平方米 B.270平方米
C.540平方米 D.1 080平方米
答案 B
解析 根据扇形的面积公式，S＝lr＝×45×＝270(平方米).
2.(2021·日照联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，
终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是( )
A.sin α＋cos α B.sin α－cos α
C.sin αcos α D.
答案 D
解析 由题意知sin α<0，cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，A不成立；sin α－cos
α<0，B不成立；sin αcos α<0，C不成立；tan α<0，>0，D成立.
3.(2021·张家口质检)已知锐角α满足3cos 2α＝1＋sin 2α，则cos α等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 3cos 2α＝1＋sin 2α可化简为
3(cos2α－sin2α)＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α，
即3(cos α－sin α)(sin α＋cos α)＝(sin α＋cos α)2，
因为α为锐角，所以3(cos α－sin α)＝sin α＋cos α，
化简得到cos α＝2sin α，
代入sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝.
4.(2020·东三省四市模拟)已知直线y＝－2与函数f(x)＝2sin(其中ω＞0)的相邻两交点间的距
离为π，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z答案 B
解析 ∵y＝－2与函数f(x)＝2sin(其中ω＞0)的相邻两交点间的距离为π，
∴函数的周期T＝π，即＝π，得ω＝2，
则f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
5.(多选)给出下列函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan.其中最小正周期
为π的有( )
A.① B.② C.③ D.④
答案 ABC
解析 ①中，y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π；②中，知y＝|cos x|是y＝cos x将x轴
下方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即y＝|cos x|的最小正周期为π；③中，y＝cos的
最小正周期T＝＝π；
④中，y＝tan的最小正周期T＝.
6.(多选)(2020·宁德模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且将图象向右平移个
单位长度后得到的函数为偶函数，则下列关于f(x)的说法错误的是( )
A.关于点对称 B.关于直线x＝对称
C.在上单调递增 D.在上单调递减
答案 ABD
解析 ∵f(x)的最小正周期为π，
∴T＝＝π，得ω＝2，
此时f(x)＝sin(2x＋φ)，
将图象向右平移个单位长度后得到
y＝sin＝sin，
若函数为偶函数，则φ－＝kπ＋，k∈Z，
得φ＝kπ＋，k∈Z，
∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝－，
则f(x)＝sin，
则f ＝sin＝sin ＝1，
故f(x)不关于点对称，故A错误；
f ＝sin＝sin 0＝0，
故f(x)不关于直线x＝对称，故B错误；
当－≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数f(x)为增函数，故C正确；当≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数f(x)不单调，故D错误.
7.(2020·咸阳模拟)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝______.
答案
解析 因为β＝(α＋β)－α，
且tan α＝，tan(α＋β)＝，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝，所以tan β＝.
8.(2020·咸阳质检)已知cos2x－sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则A＝________，b＝
________.
答案
解析 cos2x－sin 2x＝－sin 2x
＝cos 2x－sin 2x＋＝cos(2x＋θ)＋
＝sin＋(其中tan θ＝2)，
∴A＝，b＝.
9.(2020·邯郸模拟)已知α为锐角，且tan α＝m，cos 2α＝－，则sin2＝________.
答案 ＋
解析 ∵cos 2α＝＝
＝＝－，解得m2＝2，
∴cos 2α＝－，
∵0<α<，∴0<2α<π，
∴sin 2α＝＝，
∴sin2＝＝＋＝＋.
10.(2020·枣庄模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为π，且对x∈R，f(x)≥f 恒
成立，若函数y＝f(x)在[0，a]上单调递减，则a的最大值为________.
答案
解析 因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，
又对任意的x，都使得f(x)≥f ，
所以函数f(x)在x＝处取得最小值，
则＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝cos，
令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，则函数y＝f(x)在上单调递减，
故a的最大值是.
11.已知函数f(x)＝cos2x＋sin·sin－.
(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；
(2)若f(α)＝，且α∈，求cos 2α的值.
解 (1)f(x)＝·＋sin·sin－
＝cos 2x＋×2cossin
＝cos 2x＋sin
＝cos 2x＋
＝
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2x＋＝kπ，k∈Z得x＝－，k∈Z，所以f(x)的对称中心为，k∈Z.
(2)由f(α)＝得sin＝，
因为α∈，所以2α＋∈，
所以cos＝－
＝－＝－，
所以cos 2α＝cos
＝cos·cos ＋sin·sin
＝－·＋·＝.
12.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)把函数y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象
向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.
解 (1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
13.(2020·厦门质检)已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值
范围是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 f(x)＝sin＋cos ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为x∈[0，π]，所以ωx＋∈，
因为f(x)在[0，π]上的值域为，
所以≤ωπ＋≤，所以≤ω≤.
14.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对
任意x∈恒成立，则φ的取值范围是____________.
答案
解析 由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两
个交点的距离为，∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，
∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)>1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对
任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－，k∈Z且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－，k∈Z且
φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|<可得，φ的取值范围为.
15.(2020·安庆模拟)已知函数f(x)＝2(|cos x|＋cos x)·sin x，给出下列五个命题：
①f(x)的最小正周期为π；
②f(x)的图象关于直线x＝对称；
③f(x)在区间上单调递增；
④f(x)的值域为[－2,2]；
⑤f(x)在区间[－2π，2π]上有6个零点.
其中所有正确的编号是( )
A.②④ B.①④⑤
C.③④ D.②③⑤
答案 C解析 f(x)＝2(|cos x|＋cos x)sin x＝2|cos x|sin x＋sin 2x，函数f ＝，f ＝0，∴f ≠f ，故函数
f(x)的最小正周期不是π，故①错误；
由于f ＝2·sin＝2(|sin x|＋sin x)·cos x≠f(x)，
故f(x)的图象不关于直线x＝对称，故②错误；在区间上，2x∈，
f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x单调递增，故③正确；当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x
＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x<0时，
f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，
最小值为－2，故④正确；当cos x≤0时，f(x)＝0，在区间[－2π，2π]上有无数个零点，故
⑤错误.
16.如图所示，四边形ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的
扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有
边落在 BC与CD上的长方形铁皮 PQCR，其中 P是弧TN上一点.设∠TAP＝θ，长方形
PQCR的面积为S平方米.
(1)求S关于θ的函数解析式；
(2)求S的最大值.
解 (1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F(图略)，
由四边形ABCD是正方形，四边形PRCQ是矩形，
可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP＝θ，可得EP＝6sin θ，FP＝6cos θ，
∴PR＝7－6sin θ，PQ＝7－6cos θ，
∴S＝PR·PQ＝(7－6sin θ)(7－6cos θ)
＝49－42(sin θ＋cos θ)＋36sin θcos θ，
故S关于θ的函数解析式为
S＝49－42(sin θ＋cos θ)＋36sin θcos θ.
(2)令sin θ＋cos θ＝t，可得
t2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
即sin θcos θ＝，
∴S＝49－42t＋18(t2－1)＝18t2－42t＋31.
又由0≤θ≤，可得≤θ＋≤，
故t＝sin θ＋cos θ＝sin∈[1，]，∴S关于t的表达式为S＝18t2－42t＋31(t∈[1，])，
又由S＝182＋，t∈[1，]，
可知当t＝时，S取最大值，最大值为(67－42)平方米.
