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北京市东城区 2022-2023 学年度第二学期高三综合练习（二）
数学
2023.5
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
⫋
2. 已知椭圆 的一个焦点的坐标是 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列 中， ， ， 为其前 项和，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 在复平面内， 是原点，向量 对应 的复数是 ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，则所得
向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味
中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 设函数 ，若 为增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. “ ”是“函数 为偶函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知三条直线 ， ， 将平面分为六个部分，则满足条件的 的
值共有（ ）
A. 个 B. 2个 C. 个 D. 无数个
10. 设 ，其中 为自然对数的底数，则（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 ______; ______
12. 函数 在一个周期内的部分取值如下表：则 的最小正周期为_______； _______．
的
13. 若 ，则实数 一个取值为__________.
14. 如图，在正方体 中， 是 的中点，平面 将正方体分成体积分别为 ，
（ ） 的两部分，则 _______
15. 定义在区间 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线， 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减， 给出下列四个结论：
为
①若 递增数列，则 存在最大值；
②若 为递增数列，则 存在最小值；
③若 ，且 存在最小值，则 存在最小值；
④若 ，且 存在最大值，则 存在最大值.
其中所有错误结论的序号有_______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中, .
（1）求 ;（2）若 ,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使 存在且唯一确定,求
及 的面积.
条件①: ;
条件②: ;
条件③: .
17. 如图，直角三角形 和等边三角形 所在平面互相垂直， ， 是线段 上一点.
（1）设 为 的中点，求证： ；
（2）若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考
试的成绩如下表所示（满分100分）：
学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7
第一次 82 89 78 92 92 65 81
第二次 83 90 75 95 93 61 76
（1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
（2）设 表示第 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生
中随机选取2名，得到数据 ，定义随机变量 ， 如下：（i）求 的分布列和数学期望 ；
（ii）设随机变量 ， 的的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小．（结论不要求
证明）
19. 已知焦点为 的抛物线 经过点 ．
的
（1）设 为坐标原点，求抛物线 准线方程及 的面积；
△
（2）设斜率为 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，若以 为直径的圆与抛物线 的准线
相切，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 在区间 上的最大值；
（3）设实数 使得 对 恒成立，写出 的最大整数值，并说明理由.
21. 已知有穷数列 中的每一项都是不大于 的正整数.对于满足 的整数
，令集合 .记集合 中元素的个数为 （约定空集的元素个
数为0）.
（1）若 ，求 及 ；
（2）若 ，求证： 互不相同；（3）已知 ，若对任意的正整数 都有 或 ，求
的值.
