文档文本内容
数学练习
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 双曲线 的两条渐近线互相垂直，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
4. 已知 ， 是两个不同的平面，直线 ，则 是 的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B. C. D.
6. 已知 为单位向量，向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若把 的图像向左平移 个单位后为偶函数，则
（ ）
A. B. C. D.
8. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过 天后，用户人数 ，其中 为常
数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
9. 已知 经过点 ，半径为1．若直线 是 的一条对称轴．则k的最大值为（
）
A. 0 B. C. D.
10. 已知 ，若函数 有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 的展开式中 的系数为______．
12. 已知数列 的前n项和为 ， ， ，2，3，…，则 ______．
13. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上， 垂直 于点 ， 与 轴
交于点 为坐标原点，且 ，则 _______________________．
14. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是___________.
15. 如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为 ）开始，
把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到
图形 ；把 的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线去掉，得到
图形 ；依此下去，得到图形序列 ， ， ，…， ，…．设 的边长为1，图形 的周长为 ．给出以下四个结论：① ；② ；③ 既有对称轴，也有对称中心；④若 ，
则n的值最接近于16．以上正确结论的序号是______．（参考数据： ， ）
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在锐角△ABC中，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求△ABC的面积．
17. 如图，在直三棱柱 中，D，E分别是棱AB， 的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 与平面 所成的角的正弦值．
条件①： ；条件②： ；条件③： 到平面 的距离为1．
的
18. 某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa 为合格品，
否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）
如下表所示：
的
（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品 概率；
的
（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品 概率；
（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气
阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口
罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线 在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别
与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求 的值.
20. 设函数 ， ．
的
（1）当 时，求 在点 处 切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当 时， ．21. 给定正整数m，数列 ，且 .对数列A进行T
操作，得到数列 .
（1）若 ， ， ， ，求数列 ；
（2）若m为偶数， ，且 ，求数列 各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列 为常数列”的充要条件，并给出证明.
