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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市第一六六中学 2023—2024 学年度第二学期阶段测试
初二年级 数学学科
（考试时长： 100分钟）
考查目标
知识：第十六章《二次根式》，第十七章《勾股定理》、第十八章《平行四边形》、第十
九章《一次函数》
能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论
一、选择题（本题共 16分，每小题2分）
1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4， 8， 12 B. 6， 8， 10 C. 4， 6， 8 D. 4， 5， 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是熟记，勾股定理逆定理：如果三角形的三条边
长 ， ， ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形．找出每个选项中的两个较小的数，求他
们的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相
等就不能构成直角三角形．
【详解】解： 、 ，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
、 ，此选项能构成直角三角形，符合题意；
、 ，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
、 ，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、 是最简二次根式，此项符合题意
B、 ，不是最简二次根式，此项不符题意
C、 ，不是最简二次根式，此项不符题意
D、 ，不是最简二次根式，此项不符题意
故选：A．
3. 已知一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 它的图象经过点 B. 它的图象经过第一、二、四象限
C. y随x的增大而减小 D. 当 时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系等知
识点，灵活应用数形结合思想成为解答本题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与
系数的关系、一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．当 时， ，
点 不在一次函数 的图像上，A不符合题意；
B． ， ，
一次函数 的图像经过第一、三、四象限，B不符合题意；
C． ，
随 的增大而减增大，C不符合题意；
D、 当 时， ，
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当 时， ，D符合题意．
故选D．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的加减运算
法则以及二次根式的化简分别求解，逐项分析即可．
【详解】解： 与 不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误，不合题意；
与2不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误，不合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不合题意；
故选C．
5. 如图字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设字母B所代表的正方形的边长为x， ，即可得．
【详解】解：设字母B所代表的正方形的边长为x，
，
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，
∴字母B所代表的正方形的面积是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理．
6. 若 且 ， 则函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，读懂图象信息，属于中考常
考题型．根据一次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：A、由图象可知 ， ， ， ,故该选项不符合题意；
B、由图象可知 ， ， ，故该选项不符合题意；
C、由图象可知， ， ， ，故该选项不符合题意；
D、由图象可知 ， ， ， ，故该选项符合题意；．
故选：D
7. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点C在x轴的正半轴上．若点 A的坐标是 ， 且
，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质和点坐标，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
先利用两点之间的距离公式可得 ，再根据菱形的性质可得 ， ，由此即可
得出答案．
【详解】解： 点 的坐标为 ，
，
， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标与点 的纵坐标相同，即为4，
即 ，
故选：B．
8. 如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位
长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系
用图像表示大致是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分段求出函数表达式即可求解．
【详解】解：（1）当点P在AC上运动时，y＝2−t；
（2）当点P在BC上运动时，y＝t−2；
（3）当点P在AB上运动时，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴AH＝1，
∴ ，
当点P在点H右侧时，
，
该函数为一条曲线，
当点P在点H左侧时，
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，
该函数仍然为一条曲线，且当 时，PC最小，即y的值最小；
综上分析可知，y与t之间的函数关系可以用D选项中的图来表示，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式．
二、填空题（本题共 16分，每小题2分）
9. 函数y＝ 中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥2．
【解析】
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围．
【详解】解：2x﹣4≥0
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题考查自变量有意义的条件，因函数表达式是二次根式，实质也是考查二次根式有意义的条件.
10. 写出命题“平行四边形 对的边相等”的逆命题：_____，该逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】 ①. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②. 真
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念以及平行四边形的判定，正确的命题叫真命题，错
误的命题叫做假命题．交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行四边形的判定方法判定
逆命题的真假即可．
【详解】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它
是真命题．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真．
11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝5，则DE＝______．
【答案】3
【解析】
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【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，即可证得AE=AB=2，据此即可求得DE的长．
【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，
， ，
，
又 平分 ，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了四边形的性质，角平分线的定义及等角对等边，得到AE=AB=2是解决本题的关键．
12. 如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直
角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理计算出斜边的长度即可得到 的值．
【详解】解：∵长度1和3为直角边的长作直角三角形的斜边长为 ，
∴圆O的半径为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆和直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据直角边的长度求出斜边的长度．
13. 已知点 ， 在 的图象上， 且 ，则k的值可以是______
（写出一个即可）．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．由 时， ，
根据一次函数的增减性，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵点 ， 在一次函数 的图象上，且 ，
∴y随着x的增大而减小，
∴ ，
∴k可以是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
14. 如图，已知直线 与直线 相交于点 ，则不等式 的解集为
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象得出两直线交点 的坐标
是解此题的关键．首先根据直线 经过点 确定a的值，然后根据图象可知两直线交点 的坐标，根
据图象可以看出当 时，一次函数 的图象在 的上方，即可得出答案．
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴ ，
当 时，一次函数 的图象在 的上方，
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即 解集为： ，
为
故答案 ： ．
15. 折叠矩形 的一边 ，点D落在 边上的点F处，已知 ，则 的
长是_______cm．
【答案】3
【解析】
【分析】由折叠的性质可得 ， ，设 的长为 ，则 ，由勾股定理可
求 的长， 的长．
【详解】解：设 的长为 ，则 ，
折叠后的图形是 ，
， ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
，
又 ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
，
，
，
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在 中，根据勾股定理，得： ，
，
即 ，
化简，得 ，
．
即 的长为 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握勾股定理的运用与方程思想是解题的关键．
16. 冯老师的家、冯老师工作的学校和餐厅在同一条南北方向的直线上． 一天，冯老师下班后先步行前往
正北方向的餐厅，用餐1小时后骑行返回自己的家中． 在此过程中，冯老师和学校的距离 与下班
后所经过的时间 之间的函数图象如图所示． 则下列说法：
① ；
②冯老师步行的速度是 ；
③冯老师的家在学校正北方向 处；
④冯老师去餐厅与回家两段行程的平均速度是 ．
其中所有正确说法的序号是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查函数图象，解题的关键是结合函数图象获取信息，再分析选项．根据函数图象逐个分析
选项即可．
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【详解】解：由图象可得： ，故①符合题意；
，故②符合题意；
由图象可得：冯老师的家在学校正北方向 处，故③符合题意；
，故④不符合题意；
故答案为：①②③
三、解答题（本题共 68分，其中第17~18题， 每题4分， 第19~20题，每题5分，第
21~26题， 每题6分，第27~28题， 每题7分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算算术平方根与二次根
式的乘法运算，再合并即可．
【详解】解：
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先化简二次根式，计算二次
根式的乘法运算，再合并即可．
【详解】解：
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．
19. 已知一次函数的图象经过． 两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积的
计算，熟练的求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键；
（1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解一次函数与 轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：设一次函数为 ，
∴ ，
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解得： ，
∵一次函数为： ；
【小问2详解】
如图，记一次函数与 轴的交点为 ，
．
当 时，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
20. 已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
【答案】见解析
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【解析】
【分析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，证得BE=DF，BE∥DF，根据一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形即可得证．
【详解】在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE∥DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质．利用平行四边形的性质证明线段相等是解题的关键．
21. 如图，在 的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形
．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）根据要求作出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）．
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【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数
形结合的思想解决问题．
22. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴
岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如
果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多
少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，
CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
【答案】（1）1，5；（2）芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【解析】
【分析】（1）根据DE是芦苇高出水面部分，EB是水面边长的一半，直接写出答案即可；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意：DE是芦苇高出水面部分，即DE=1尺，EB是水面边长的一半，即：EB=5
尺，
故答案是：1，5；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，
根据题意得： ，解得：x=13，
13-1=12（尺），
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答：芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象是由一次函数 向上平移4
个单位长度得到的．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值都小于函数 的值，直接写
出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求解一次函数的解析式、平移的知识；解题的关键是熟练掌握平移、一次函数图象的
性质，从而完成求解．
（1）根据一次函数平移的性质分析，即可得到答案；
（2）根据一次函数图象的性质分析，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象由函数 的图象向上平移4个单位长度得到，
∴这个一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
如图，当 时， ，
当 过 时， ，
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如图，当 时，图象如下图，
∴当 时，对于x的每一个值，函数 的值都小于函数 的值， n的取值
范围为 ．
24. 如图， 在 中， 平分 交 于点 D， 过点 D作 交
于点E， 垂足为点 F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定、勾股定理，掌握角平分线的性
质是解题的关键．
（ ）由角平分线可得 ，由平行线的性质可得 ，即可得
，根据等角对等边即可得到 ；
（ ）由角平分线的性质可得 ，由勾股定理可得 ，再由勾股定理即可求出 的
长；
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【小问1详解】
证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25. 某种机器工作前先将空油箱加满（加油过程），然后停止加油立即开始工作（加工过程）．当停止工
作时，油箱中油量为10升．在整个过程中，油箱里的油量 （单位：升）与时间 （单位：分）之间的关
系如图所示．
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（1）机器加油过程中每分钟加油量为______升，机器加工过程中每分钟耗油量为______升；
（2）求机器加工过程中 关于 的函数解析式；
（3）当油箱中油量为油箱容积的一半时，直接写出此时 的值．
【答案】（1）9，1；（2） ；（3）5或55
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据（2）中的函数解析式和（1）中的加油的速度，令函数值为90÷2，即可得到相应的x的值．
【详解】解：（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：90÷10=9（L），
机器工作的过程中每分钟耗油量为：（90-10）÷（90-10）=1（L），
故答案为：9，1；
的
（2）当10＜x≤90时，设y关于x 函数解析式为y=ax+b，
，
解得， ，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y=-x+100（10＜x≤90）；
（3）当9x=90÷2时，x=5
当-x+100=90÷2时，得x=55，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是55．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝｜x－2｜的图像和性质进行了研究．探究过
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程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中，m＝ ；
（2）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图像的
一部分，请画出该函数图像的另一部分；
（3）观察函数图像发现，该函数图像的最低点坐标是 ；
的
当x＜2时，y随x 增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而 ；
（4）进一步探究，
①不等式｜x－2｜≥1.5的解集是 ；
②若关于x的方程｜x－2｜＝kx (k≠0)只有一个解，则k的取值范围是 ．
【答案】（1）3 （2）见解析
（3）(2，0)，增大
（4）①x≤0.5或x≥3.5②k＜－1或k≥1
【解析】
【分析】（1）根据函数y=|x-2|，计算出当x=-1对应的函数值，从而可以求得m的值；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图像；
（3）根据函数图像即可求得；
（4）观察函数图像，可以得到满足题意的k的取值范围；
【小问1详解】
当x=-1时，y=|x-2|=3，
∴m=3，
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故答案为：3；
【小问2详解】
画出该函数图像的另一部分如图；
【小问3详解】
观察函数图像发现，该函数图像的最低点坐标是（2，0）；当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y
随x的增大而增大；
故答案为：（2，0），增大；
【小问4详解】
观察图像，
①不等式|x-2|≥1.5的解集是x≤0.5或x≥3.5；
②若关于x的方程|x-2|=kx（k≠0）只有一个解，则k的取值范围是k＜-1或k≥1；
故答案为：x≤0.5或x≥3.5；k＜-1或k≥1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图像和性质，解决本题的关键是根据图像回
答问题．
27. 在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至
点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.
（2）用等式表示线段MB与 PQ之间的数量关系，并证明.
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【答案】（1）∠AMQ=45°+α； (2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ= MB，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)由直角三角形性质，两锐角互余，可得∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM ，解得∠AMQ=45°+α；
(2)由题意得AP=AQ=QM，再证Rt△APC≌Rt△QME，.全等三角形对应边相等得出PC=ME，得出△MEB为
等腰直角三角形，则PQ= BM.
【详解】(1) ∠AMQ=45°+α.理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝45°－α，∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM＝45°＋α；
(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ= MB.
理由如下：
连接AQ，过点M作ME⊥QB，
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=α+45°=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在Rt△APC和Rt△QME中，
∴Rt△APC≌Rt△QME，
∴PC=ME，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴ ，
∴PQ= MB.
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28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图
形W有且只有2个公共点，那么称点P是图形W的“相关点”．已知点 ， ，
．
（1）当 时，
①在点 ， ， ， 中，是折线 的“相关点”的是______；
②点M是直线 上一点，如果点M是折线 的“相关点”，求点M的横坐标 的取值范
围；
（2）正方形DEFG的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标是 ．如果正方形的边长是
2，正方形DEFG上的任意一点都是折线 的“相关点”，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）① ；②
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；
②根据题意画出 ，结合定义可知当 与点 重合时 取得最小值，与直线 相交时，
取得最大值，进而即可求解；
（2）根据题意求得直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，正方形
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上的任意一点都不在 所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），当正方形有一点
在 或 上时，根据点 的坐标以及正方形的性质求得点 的坐标，分别代入直线 的解析
式即可求得点 的坐标，结合函数图像即可求解．
【小问1详解】
当 时， ，
①如图，在平面直角坐标系中描出点 ， ， ， ，
连接 ，
由图像可知， 为折线 的“相关点”；
②如图，
点M是直线 上一点，
根据定义可知：点 为折线 的“相关点”
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当 与点 重合时，此时 取得最小值，为 ，
当 在直线 上时， 取得最大值，
设直线 解析式为
则
解得
直线 解析式为
联立
解得
即 的最大值为
【小问2详解】
点 ， ， ．
设直线 的解析式为 ， 解析式为 ,
则 ， ，
解得 ，
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直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
的
当正方形 上 任意一点都是折线 的“相关点”；
正方形 上的任意一点都不在 所围成的锐角之内以及边上（除线段AB,AC外），
当正方形有一点在 或 上时，如图，
当点 在 上时， ，正方形的边长为2，
则 ，
代入直线 解析式，可得 ，
解得 ；
当点 在 上时， ，正方形的边长为2，
则 ，
代入直线 解析式，可得 ，
解得 ，
结合图像可知，当正方形DEFG上的任意一点都是折线 的“相关点”， 或 ．
【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交
点问题，理解新定义是解题的关键．
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