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2022 高三数学适应性练习
（考试时间120分钟 满分150分）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．）
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】集合 ，根据 ，分 和 两种情况讨论即可得答案.
【详解】解：集合 ， ，
当 ，即 时，显然满足条件 ；
当 时， ，
因为 ，所以 或 ，即 或 ，解得 或 ；
综上，实数 的取值组成的集合是 .
故选：D.
2. 复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】由复数对应点可得 ，根据复数除法运算可计算得到结果.
【详解】 对应的点为 ， ，
.
故选：B.
3. 已知直线 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直线的一般式方程，根据直线垂直的条件列出等式，求得答案.
【详解】由题意可知 ,故 ，
解得 或 ，经验证，符合题意，
故选：A
4. 已知数列{ }为首项为2，公差为2的等差数列，设数列{ }的前n项和为 ，则 =（ ）
A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和公式求出 ，从而计算可得；
【详解】解：依题意 ，
所以 ；
故选：C
5. 已知 是两个不重合的平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系、面面关系的性质定理及判定定理判断可得；
【详解】解：因为 是两个不重合的平面，直线 ，若 ，则存在直线 ，满足 ，因
为 ，所以 ，所以 ，故充分性成立；
若 ， ，则 ，或 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件；
故选：A
6. 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则当实数 变化时， 的最小值为（ ）
.
A B. 2 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】有题意知，当 时， 取得最小值，过 作 ，即 取得最小
值为 ，求出 即可得出答案.
【详解】如图，设 ，
当 时， 取得最小值，过 作 ，即 取得最小值为 ，
因为 与 的夹角为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
7. 已知F为双曲线 的右焦点，A为双曲线C上一点，直线 轴，与双曲线
C的一条渐近线交于B，若 ，则C的离心率 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求出 ， ，再由 可求得 ，从而可求表示出 ，进而可求得离心
率
【详解】由题意得 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的对称性，不妨设 均为第一象限点，
当 时， ，得 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
8. 如图，在圆 上取一点A（ ， ），点B为点A关于y轴的对称点，E，F为圆O上的
两点，且满足 ，则EF的斜率为（ ）
A. —2 B. C. —1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，证明 ，即可得到 ，根据 ， 利用
两点计算可得
【详解】连接 ， 和 交于点 ，如图又
故选：B
9. 已知实数 是方程 的一个解， 是方程 的一个解，则 可
以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 、 ，即可得到 ，从而得解；
【详解】解：依题意 ， ，
即 ， ，所以 ，
即 或 ，
所以 或 ；
故选：B
10. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是
黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 的等腰三角形(另一种是
顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个
黄金 中， .根据这些信息，可得 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 ，再根据二倍角余弦公式求出 ，然后根据诱导公式求出
.
【详解】由题意可得： ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11. 函数 的最小正周期是____；最大值是______.
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】将 化简，即可求出 最小正周期和最大值
【详解】 的最小正周期为： ；
当 时， 的最大值为4.
故答案为： ；4.
12. 若 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】在所给的式子中，令 可得： ，再令 可得 ，由此可得
的值.
【详解】在 中，令 可得： .
再令 可得： ，故 .
故答案为： .
13. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中
点，则 ____________．
【答案】6
【解析】
【详解】
【分析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 与点 ，与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，在直角梯形 中，
中位线 ，由抛物线的定义有： ，结合题意，有 ，故
．
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线
上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，
那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物
线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形．请在下面给出的5个条件中选出2
个作为一组，使得它们能成为“在BC边上存在点Q，使得△PQD为钝角三角形”的充分条件___________．
（写出符合题意的一组即可）① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
【答案】②④或②⑤或③⑤
【解析】
【分析】设 ， ，则 ，计算出 ， ， ，
若在 边上存在点 ，使得 为钝角三角形，则 ，解不等式再根据已知条件
可得答案.
【详解】设 ， ，则 ，
因为 平面 ，底面四边形 为矩形，所以 ，则 ，
， ，
若在 边上存在点 ，使得 为钝角三角形，
则 ，即 ，
整理得 ，
要使不等式有解，只需 ，即只需 即可，
因为① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，
所以②④或②⑤或③⑤.
故答案为：②④或②⑤或③⑤.
15. 已知函数 给出下列四个结论：
①f(x)的值域是 ；
②f(x)在 上单调递减：
③f(x)是周期为 的周期函数
④将f(x)的图象向左平移 个单位长度后，可得一个奇函数的图象其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③
【解析】
【分析】先将 化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可
【详解】
所以 的值域为 ，故①错误；
令 ，
当 时， 的一个单调递减区间为 ，故②正确；
的周期 ,故③正确
的图像向左平移 个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为
，是偶函数，故④错误
故答案为：②③
三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在△ABC中， ，再从条件①、条件②中选择一个作为已知， 条件①： ；条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．求：
（1） ；
（2）AC边上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用余弦定理得到方程组，解得即可；
若选②，由正弦定理将角化边，即可求出 ，再由余弦定理计算可得；
（2）由（1）可得 ，再由同角三角函数的基本关系求出 ，再利用等面积法计算可得；
【小问1详解】
解：若选①：即 ， ， ，
由余弦定理 ，即 ，
即 ，即 ，解得 ，解得 或 （舍去），所以
；
若选②：即 ， ， ，
由正弦定理可得 ，即 ，解得 ，
再由余弦定理 ，即 ，即 ，即 ，
所以 ；
【小问2详解】
解：由（1）可得 ， ，所以 ，由 ，所以 ，
所以 ，
设 边上的高为 ，则 ，即
17. 从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间
志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000
多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从
全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照 ，
， ， ， 分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据
绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学
生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；
（2）若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该
市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名
学生中达到“预期合格”的人数为 ，求 的分布列并求数学期望 ；
（3）用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在 的数据组成新样本组
A，其方差记为 ，把时间段在 的数据组成新样本组B，其方差记为 ，原来600个样本数据的方差记为 ，试比较 ， ， 的大小（结论不要求证明）.
【答案】（1）平均数：4.35，75百分位数：5.25；
（2）分布列见解析， ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）用每一组的中点值乘以频率相加即得平均数，根据百分位数概念计算即可得第75百分位数
的一个估计值；
（2）由题可得， 服从二项分布，可根据公式求出分布列；
（3）根据前3组数据、后3组数据以及整体数据的离散程度进行判定
【小问1详解】
平均数等于 ，
前3组频率和 ，加上第4组得 ，
所以75百分位数： ；
【小问2详解】
由题可知“预期合格”的概率 ，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达
到“预期合格”的人数为 ，则 服从二项分布 ，
的分布列为：
X 0 1 2 3
.
P 0 008 0.096 0.384 0.512.
【小问3详解】
由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以 ，而这两组数据相比整
体数据都要集中一些，所以 .
18. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点，已知 ，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）求 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，连接 ，即可得到 ，从而得证；（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【小问1详解】
证明：连接 ， ，连接 ，
在直三棱柱 中 为矩形，则 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
平面 ， 平面 ．
平面 ．
【小问2详解】
解： ， ， ， ， ．
由直三棱柱 中， 底面 ， 底面 ， ， ．
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所
以 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ；
【小问3详解】
解：设 到平面 的距离为 ，则 ；
19. 已知椭圆 ，点 ， 分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的焦点F也是抛物
线 的焦点，且 ．
（1）求椭圆C的方程：
（2）设过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，问x轴上是否存在定点P，使点F到直线BP的
距离与点F到直线 的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先根据椭圆的焦点也是抛物线的焦点可以求出 ，再根据 可以得到 是等
腰直角三角形，所以 ，计算即可得到答案；（2）先假设 存在，根据 可以得到 ，即直线
的倾斜角互补，得到 ，然后联立直线和椭圆方程，求出 ，代入
中整理即可得到关于 的等式，即可求出 点坐标.
【小问1详解】
椭圆C的焦点F也是抛物线 的焦点
又 ， 是等腰直角三角形
所以椭圆 的方程为：
【小问2详解】
如图所示，假设点 存在，设 分别为点 到直线 的距离
由题意
接下来只需要说明存在点 ，使得 即可设 ,直线 的方程为
将直线 与椭圆 方程联立，消去 整理得到：
由题意， 平分 ，则直线 的倾斜角互补，所以
设 ，则
将 代入上式，整理得：
将 代入上式整理得：
由于上式对任意实数 都成立，所以
即存在点 使得点F到直线BP的距离与点F到直线 的距离相等
.
20 已知函数
的
（1）讨论函数 在区间 内 单调性；
（2）若函数 在区间 内无零点，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）对 进行求导，然后根据 的取值范围分类讨论 的单调性（2）通过（1）确定函数的单调性，然后根据零点存在性定理列出关于 的不等式解出 的范围即可
【小问1详解】
，
（Ⅰ）当 ，即 时，
， 在 单调递减
（Ⅱ）当 ，即 时，
， 在 单调递增
（Ⅲ）当 ，即 时，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减
综上所述，（Ⅰ）当 时， 在 单调递减
在
（Ⅱ）当 时， 单调递增
（Ⅲ）当 时， 在 单调递增，在 单调递减
【小问2详解】
由（1）知：当 时，
即 ， 在 无零点
当 时，
即 ， 在 无零点
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
只需 即可
即 ，
综上所述，
21. 已知 是由正整数组成的无穷数列，对任意 ， 满足如下两个条件：① 是 的
倍数；② .
（1）若 ， ，写出满足条件的所有 的值；
（2）求证：当 时， ；
（3）求 所有可能取值中的最大值.
【答案】（1） （2）见解析（3）85
【解析】
【分析】（1）根据 满足的两个条件即可得到满足条件的所有 的值；
（2）由 ，对于任意的 ，有 . 当 时， 成立，
即 成立；若存在 使 ，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知 ，因为
且 是 的倍数，可得 所有可能取值中的最大值.
【详解】（1） 的值可取 .（2）由 ，对于任意的 ，有 .
当 时， ，即 ，即 .
则 成立.
因为 是 的倍数，所以当 时，有 成立.
若存在 使 ，依以上所证，这样的 的个数是有限的，设其中最大的为 .
则 , 成立，因为 是 的倍数，故 .
由 ,得 .
因此当 时， .
（3）由上问知 ，因为 且 是 的倍数，
所以 满足下面的不等式：
， .
则 , , , , , , , ,
, ,当 时， 这个数列符合条件.
故所求 的最大值为85.
【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.
