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山西大学附中
2025～2026 学年第一学期高三 10 月模块诊断（总第四次）
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：鲍淑芳
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知确定集合 中元素，然后由交集定义计算．
【详解】由题意 ，又 ，
∴ ，
故选：C．
2. 已知命题 ，使得 ，则 为（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义求解.
【详解】根据命题的否定的定义，
因为命题 ，使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为 ，使得 ，
故选:B.
3. 在复平面内，复数 ，则 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义可得 ，再结合复数的几何意义即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
4. 将六位数“ ”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. B. C. 216 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，分末尾是 或 ，末尾是 ，即可得出结果.
【详解】由题意，
末尾是 或 ，
不同偶数个数为 ，
末尾是 ，
不同偶数个数为 ，
所以共有 个.
故选：D
5. 在等比数列 中， ， 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A. 2 B. 或 C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，由条件可得 ， ，由此可判断 ，再判
断 的符号，结合等比数列性质可得结论.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ，
因为 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ，且 ，所以 ， ，
又数列 为等比数列，所以 ，由等比数列性质可得 ，
所以 .
故选：D.
6. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积.
【详解】因为底面半径 ，所以底面周长 ，
又圆锥母线长 ，所以圆锥侧面积 ．
故选：A．
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 上，且 ，
的面积为 ．若 为钝角，则 的焦距为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 7 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线定义结合条件得 ，根据 的面积解得 ，
结合 为钝角，得出 ，根据余弦定理解得 ，进而得到焦距.
【详解】根据双曲线定义， ，
又因为 ，可得 ，
因为 的面积为 ，
所以 ，
解得
因为 为钝角，所以 ，
由
根据余弦定理得 ，
即有 ，解得
因此双曲线的焦距为 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数 ，对任意 ，恒有 ，且 在 上单
调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A.
B. 为奇函数
C. 函数 图像向左平移 个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的 得到函数 ，函数 的
对称轴方程为 ，
D. 在 上的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】由题意先求 ，再逐项验证即可.
【详解】因为对任意 ，恒有 ，所以 为 的一条对称轴，
所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， ，故A正确；所以 ，
由 为奇函数，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司由函数 图像向左平移 个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的 得到函数 ，
令 ，解得 ， ，故C正确；
由 ，所以 ，当 ，即 时，故D错误；
故选：D.
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A. 两个变量 的相关系数为 ，则 越小， 与 之间的相关性越弱
B. 设随机变量 ，若 ，则
C. 在回归分析中， 为0.89的模型比 为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出 即可求出
的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出 .
【详解】由题意，
A项，
两个变量 的相关系数为 ， 越小, 与 之间的相关性越弱,
故A 错误,
对于 B,
随机变量 服从正态分布 , 由正态分布概念知若 , 则
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学科网（北京）股份有限公司,
故 B 正确,
对于 ,
在回归分析中, 越接近于 1 , 模型的拟合效果越好,
的
∴ 为 0.98 模型比 为 0.89 的模型拟合的更好
故 C 错误,
对于 ,
某人在 10 次答题中, 答对题数为 , 则数学期望 ,
故 D 正确.
故选：BD.
10. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 在 处取极大值
B. 当 时，方程 有 个实根
C. 当 时， 是 的极大值点
D. 存在实数 ， 恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数判断函数单调性可判断A选项；利用导数分析函数 的单调性与极值，数形结合可
判断B选项；当 时，利用导数分析函数 的单调性，可判断CD选项.
【详解】当 时， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 或 ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以 ， ，故A正确；
又因为 ，如下图所示：
由图可知，直线 与函数 的图象有三个交点，
即 时，方程 有 个实根，故B正确；
对于C选项， ，
当 时， ，此时函数 在 上单调递增，故C错误；
当 时，函数 在 上单调递增，此时 恒成立，故D正确．
故选：ABD
11. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 边上的高为 ，若 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合正弦定理边化角及和差角的正弦、二倍角公式逐项分析判断.
【详解】对于A， ，由 ，得 ，由正弦定理得
，而 ，因此 ，A正确；
对于B，由 及正弦定理得 ，
即 ，则
，即 ，又 ，
因此 ，又 ，则 ， ，B正确；
对于C，若 ，则 ，由正弦定理得 ，由选项B知，
，而
解得 ，即 ，矛盾，C错误；
对于D，由选项A知， ，而 ，
则 ，整理得 ，
而 ，因此 ，又 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量 ， ，则 ______．
【答案】5
【解析】
【分析】由向量的坐标运算及模长公式即可求解.
【详解】由题意可得： ，
所以 .
故答案为：5.
13. 已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式结合二倍角公式即可求解.
【详解】由题意可得，
.
故答案为：
14. 已知数列 中， ，且 ，若存在正整数 ，使得
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学科网（北京）股份有限公司成立，则实数 的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】构造数列先计算 ，分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可.
【详解】由 ，令 ，
若 为奇数，则 ，
若 为偶数，则 ，
即 奇数项与偶数项分别成以 为公差的等差数列，
易知 ，
所以 ，则 ，
若 为奇数，则
有解，即 ，
由指数函数的单调性可知 ；
若 为偶数，则
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学科网（北京）股份有限公司有解，即 ，
由指数函数的单调性可知 ；
综上 满足题意.
故答案为：
【点睛】易错点睛：首先构造等差数列需要分奇偶项进行讨论，务必注意符号，其次结合指数函数的单调
性解不等式有解问题时，注意取值范围的大小，保证有解即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 为整数， ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；
(2)利用裂项相消求和.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司联立 解得 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，
所以
.
16. 如图，圆柱 中， 是底面圆 上的一条直径， ， 分别是底面 ， 圆周上的一点，
， ，且点 不与 ， 两点重合.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到 ⊥ ，由线面垂直得到 ⊥ ，从而得到线面垂直，
面面垂直；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先得到 为二面角 的平面角， 为等边三角形，建立空间直角坐标系，求
出平面 的法向量，由线面角的向量公式求出直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】
因为 是底面圆 上的一条直径，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥底面圆 ， ，
所以 ⊥底面圆 ，
因为 底面圆 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
【小问2详解】
因为 ⊥底面圆 ， 圆 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
所以 为二面角 的平面角，
为
故 ，又 ，所以 等边三角形，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，设 ，故 ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，得 ，故 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， 的周长为6，
椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 交椭圆于 两点，交 轴于 点，设 ，试判断
是否为定值？请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2） 为定值 ，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 ，再解方程组即可得到答案.
（2）首先直线 的方程为 ，与椭圆联立得到 ， ，根据
得 ，同理得 ，再计算 即可.
【小问1详解】
由题意 ，可得 ，又 ，
所以椭圆C的方程为 ；
【小问2详解】
由题，得直线斜率存在，由（1）知 ，设直线 的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则联立 ，消去 ，整理得 ， ，
设 ，则 ， ，
又 ，则 ，
由 得 ，所以 ，同理得 ，
所以
所以 为定值 .
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 的极小值小于 ，求m的取值范围；
（3）讨论 的零点个数．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）答案见解析.
【解析】
的
【分析】（1）利用导数 几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）函数求导后，根据参数 的取值分类讨论，得 时极小值 ，构造函数
，求导得 ，即可求不等式 的解集；
（3）由 ，令 ，对其求导，令
，求导判断 在区间 上单调递增，结合零点存在定理，得
使 ，求出 的最小值为 ，由 可得 ， ，故
的最小值 ，讨论 ，即可得函数 的零点个数.
【小问1详解】
当 时， ，则 ，
所以 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，
整理得： .
【小问2详解】
函数 的定义域为 ，且 ，
当 时，易得 ， 在 上单调递减，则 无极小值，不符合；
当 时，
由 ，得 ，即 在 上单调递增；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，即 在 上单调递减，
所以 的极小值为 ，而 的极小值小于 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以 可得
【小问3详解】
．
令 ，得 ，
令 ，则 与 有相同的零点，
且 ．
令 ，则 ，
因为 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，
又 ， ，所以 ，使得 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 单调递减，在 单调递增，最小值为 ．
由 ，得 ，即 ，
令 ， ，则 ，则 在 单调递增，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，从而 ， ，
所以 的最小值 ，
又当 趋近于0时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
①若 ，即 ， 无零点，故 无零点；
②若 ，即 ， 有1个零点，故 有1个零点；
③若 ，即 ， 有2个零点，故 有2个零点.
19. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间
移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分
钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为 0.5，已
知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为 ，
.
（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
（2）求证： ， 均为等比数列；
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学科网（北京）股份有限公司（3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
【答案】（1）0.5；
（2）证明见解析； （3）第2分钟.
【解析】
【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算
得解.
（2）根据给定条件，求出 、 的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.
（3）由（2）的通项公式，按 取奇数和偶数分类求出最大值.
【小问1详解】
在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，
设 为第1分钟时，猫在 号房间，老鼠在 号房间，
则 ， ，
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 ，则 ，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.
【小问2详解】
依题意， ， ，
当 时，猫在第 分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为 ；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为 ，
由全概率公式，得 ，则 ，
而 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司， 满足上式也满足题意，则 ，
老鼠第 分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为 ，
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为 ，
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为 ，
由全概率公式，得 ，
即 ，则 ，
即 ，而 ，
因此数列 是首为 ，公比为 的等比数列，
，而 满足上式也满足题意，则 ，
又 ，
所以 为等比数列.
【小问3详解】
由（2）知 ，显然 不是其最大值，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 为奇数时， ，当且仅当 时取等号， 最大值为0；
当 为偶数且 时， ，当 时， ， 最大值为 ，
则 的最大值为 ，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大.
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学科网（北京）股份有限公司
