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北京市丰台区 2024~2025 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学
2025.03
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答
无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A. 5 B. C. 3 D.
3. 展开式中 常数项为（ ）
的
A. 160 B. 60 C. D.
4. 已知 ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线C： 的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且 ，则p的
值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
6. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
7. 已知 是公差不为0的等差数列，其前n项和为 ，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在平行四边形 中，E为边 上的动点，O为 外接圆的圆心， ，且
，则 的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
9. 图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有
“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐
代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分
（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直
径）约 ，下底直径约 ，腹部最细处直径约 ，主体部分高约 ，则下列各数
中与双曲线C的离心率最接近的是（ ）（参考数据： ， ）
A. B. 2 C. D. 3
10. 如图，正方体 的棱长为2， 为 的中点， 为线段 上的动点，给出下列
四个结论：
①存在唯一的点 ，使得 ， ， ， 四点共面；
② 的最小值为 ；
③存在点 ，使得 ；④有且仅有一个点 ，使得平面 截正方体 所得截面的面积为 .
其中所有正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知直线 与圆 有且仅有一个公共点，则 ______.
12. 已知函数 ，当 时， ______；若 在 上单调递增，则实数a
的取值范围是______.
的
13. 已知 ， ， 是公比不为1 等比数列，将 ， ， 调整顺序后可构成一个等差数列，则满
足条件的一组 ， ， 的值依次为______.
14. 已知函数 的部分图象如图所示，其中M，N是直线 与曲线
的两个相邻交点.若 ，则 ______， ______.
15. 已知函数 .给出下列四个结论：①当 时， 在区间 上单调递增；
②对任意实数a， 都没有最小值；
的
③当 时，设 零点从大到小依次为 ， ， ，，则对任意正整数i，都有 ；
④对任意实数a，m，存在实数 ，当 时，恒有 .
的
其中所有正确结论 序号为______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求a．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， ，
， .（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁
路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：
注：以下高铁车次均能准点到达
（1）某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小
时的概率；
（2）甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，
乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望；
（ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 ，以 的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角
三角形，且面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 .过 作直线 的垂线，垂足为 .求证：直线 过定点.
20. 已知函数 ，直线l是曲线 在点 处的切线.
的
（1）当 ， （ 为自然对数 底数）时，求l的方程；
（2）若存在l经过点 ，求实数a的取值范围；
（3）当 时，设点 ， ，B为l与y轴的交点， 表示 的面积.求
的最小值.
21. 已知无穷递增数列 各项均为正整数，记数列 为数列 的自身子数列.
（1）若 ，写出数列 的自身子数列的前4项；
（2）证明： ；
（3）若数列 与 是公差分别为 ， 的等差数列.
（i）证明： ；
（ii）当 ， 时，求数列 的通项公式.
