文档内容
江苏省扬州中学2024-2025学年度第二学期学习效果评估
高三数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 ，则复数 在复平面内所
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 ， ，且 ，则 的面积为
（ ）
A. B. C. D.
4．已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．若 的展开式中含 的项满足 ，则这些项的系数和为
（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程 的几
何求解方法.在直角坐标系 中， 两点在 轴上，以 为直径的圆与抛物线 ：
交于点 ， .已知 是方程 的一个解，则点 的坐标为
（ ）
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．已知正四棱锥 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均
相切，则正四棱锥 的体积为（ ）
A． B．12 C． D．36
8.已知函数 的定义域为R，且对任意 ，满足 ，且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数 ，若将 的图象向右平移 个单位后，再把所得曲线上所有点的
横坐标伸长为原来的 2倍 纵坐标不变 ，得到函数 的图象，则下列说法正确的是
（ ）
A. B. 的图象关于点 对称
C. 的图像关于直线 对称 D. 的图像与 的图像在 内有4个交点
10．数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线
，上顶点为 ，右顶点为 ，曲线 上的点满足到 和直线
的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下
顶点，过 作斜率小于0的直线 与两曲线从左到右依次交
于 且 ，则（ ）
A. 曲线 由两条抛物线的一部分组成
答案第2页，共2页B. B. 线段 的长度与 点到直线 的距离相等
C. 若 ，则直线 的斜率为
D. 若线段 的长度为 ，则直线 的斜率为
11．如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形，
，P为 的中点，点 满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则四面体 的体积为定值
B．若 ，则点 的轨迹为一段圆弧
C．若 的外心为O，则 为定值2
D．若 且 ，则存在点E在线段 上，
使得 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知等比数列 为递增数列， . 记 分别为数列 的前
项和，若 ，则 ．
13．已知 ，且满足 ，则
______．
14．如果 是离散型随机变量，则 在 事件下的期望满足
其中 是 所有可能取值的集合.已知某
独立重复试验的成功概率为 ，进行 次试验，求第 次试验恰好是第二次成功的条件
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司下，第一次成功的试验次数 的数学期望是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在矩形ABCD中，点E在线段CD上，且 ， ，
(1)求
(2)若动点M，N分别在线段EA，EB上，且 与 面积之比为 ，试求
MN的最小值.
16.刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记
载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长
没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍 中，四边形 是正方形，平面 和
平面 交于EF．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ， ，再从条
件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使几何体
存在且唯一，并求平面 和平面 的夹
角的余弦值．
条件①： ， ；
条件②：平面 平面 ；
条件③：平面 平面 ， ．
17.已知函数 ，
(1)求 在 处的瞬时变化率;
(2)若 恒成立，求a的值;
18.P为圆 上一动点，点B的坐标为 ，线段 的垂直平分线交直
线 于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为 和
答案第4页，共2页，M、N为曲线C上异于 、 的两点，直线 不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点
M关于原点O的对称点为S，若直线 与直线 相交于点T，直线 与直线 相
交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得 的面积为定值，并求该定值．
19．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来扬州旅游的游客进行了问卷调查，据统
计，其中 的人计划只参观瘦西湖，另外 的人计划既参观瘦西湖又游览大运河博物
馆，每位游客若只参观瘦西湖，则记1分；若既参观瘦西湖又游览大运河博物馆，则记2
分．假设每位首次来扬州旅游的游客计划是否游览大运河博物馆相互独立，视频率为概
率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人 ，记这n人的合计得分恰为 分的概率为 ，求
；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为 ，求数列 的
通项公式．
《江苏省扬州中学2024-2025学年度开学考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A C A A B D BD ABC ABD
1．C【详解】由题意，因为 ，则 .
故选：C．
2．D【详解】因为复数 在复平面内所对应的点位于第一象限，
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司则设 ，
因为 ，所以 ，
所以复数 在复平面内所对应的点为 ，
又 ，所以该点位于第四象限.
故选：D.
3．A 【解析】解：因为 ，所以 ，
故 ，解得
故 ， ，
又因为 为直角三角形，
则面积 ，
故选：
4．C【详解】由题意得，函数 ，
设 （ ），
由 ，得 从而： ，
答案第6页，共2页又因为 ，
所以 是 上的奇函数，即 ，
又有 ，
因为 是 上的增函数， 是 上的增函数，
所以 是 上的增函数；
则 可得： ，即 ，
整理得： ，解得： 或 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：C.
5．A
6．A【详解】设 ， 的中点为 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，
与抛物线 联立，可得 ，
化简可得 ，
由于 ，可得 ， 的横坐标相等，
则方程 和方程 有相同的解，
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司即有 ，解得 ，
则 ．
故选：A．
7．B【详解】
因为球与该正四棱锥的各面均相切，所以该球的球心 在 的高线 上，
过点 作 于点 ，连接 ，过点 作 于点 .
因 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ，则 平面 ，
因 平面 ，故 ，又 平面 ，故 平面
.
依题意， ，因为底面边长为 ，所以 ，
在 中， ，则 ，
因 ，则 ，则 ，
故 ，则 .
故选：B.
答案第8页，共2页8.【答案】D 【解析】解：因为 ，
由累加法得： ， ，
，
所以 ，所以
，
故 故A，B错误;
再由累加法得： ， ，
，
所以 ，故 ，故C错误，D正确.
故选
9．BD 【解析】解：对于 将函数 的图象向右平移 ，可得函数
的图象;
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到函数 的图象，故
A错误;
对于 令 ， ，得 ， ，所以 的图象关于点 对称，故
B正确;
对于 令 ， ，得 ， ，故C错误;
对于 分别画出 与 在 内的图像，可知有4个交点，故D正确;
故选：
10．【答案】ABD
答案第10页，共2页【详解】
对于A选项，设曲线 上任意一点 ，
由 定义可知， 满足 ，
移项，平方可得： ，
即 ，为两条抛物线，故A正确；
对于B选项， 和直线 分别为抛物线 的焦点和准线，由抛物线定
义可知，故B正确
对于C选项，易知 为抛物线 和 的焦点，
前者 ，后者 分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此
，由于 ，
则 ，因此 ，所以 ，故D正确，
对于D选项，设 与 轴夹角为 同时为抛物线 和椭圆的焦点， ，
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，
解得 ，则 ，故C错误.
故选：ABC
11．ABD
【详解】对于A，如图，取 靠近 的三等分点为 ， 靠近 的三等分点为 ，
连接 ，
因为 ，所以 ，
令 ，而 ，
则 ，得到 ，
因为 靠近 的三等分点为 ， 靠近 的三等分点为 ，所以 ，
而由直四棱柱性质得 ，
而 ，由勾股定理得 ，
在直四棱柱 中， ， ，
答案第12页，共2页得到四边形 是平行四边形，故 ，
则 ，由题意得 为 的中点，则 的面积是定值，
而 面 ， 面 ，所以 面 ，
结合 ，由线面平行性质得 到面 的距离为定值，
即四面体 的体积为定值，故A正确，
对于B，如图，在面 中，过 作 ，连接 ，
由直四棱柱性质得 面 ，则 ，
而 ， 面 ，
故 面 ，则 ，
而面 为菱形，则面 为菱形，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司由锐角三角函数定义得 ，解得 ，由勾股定理得 ，
因为 ，所以由勾股定理得 ，
则 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设该圆与 交于 ，与 交于 ，
由三角函数定义得 ，则 ，
即点 的轨迹为一段圆弧，故B正确，
对于C，如图，作 ，由题意得 的外心为 ，故 是 的中点，
由已知得 ，因为 ，所以 ，
而 ，
，故C错误，
对于D，若 且 ，此时 ，
因为P为 的中点，所以 ，
答案第14页，共2页由向量加法法则得 ，故 ，
则点 与点 重合，此时把 沿着 翻折，
如图，使得 四点共面，此时 有最小值 ，
此时的点均为翻折过的点，因为P为 的中点，所以 ，
由勾股定理得 ，如图，连接 ，
由已知得 ，则 ，
由余弦定理得 ，解得 ，
由直四棱柱性质得 面 ，则 ，
则由勾股定理得 ，
则 ，故 ，
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司而 ，则 ，得到 ，
由余弦定理得 ，解得 ，故D正确.
故选：ABD
12.【详解】 ，
则 .
由于 为递增数列，则 ，
所以 的通项公式为
所以 ，
14. 【答案】
【详解】由 ，则 ，
因此 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
答案第16页，共2页则 ．
14.【详解】设随机变量 分别代表第一､第二次成功对应的试验次数，
则 ，以及 ，
所以 ，
所以
15.【答案】解： 【方法一】设 ，则 ， ，而 ，
在 中，由余弦定理得 ，
化简得 ，
解得 或 舍去 ，
所以 ；
【方法二】作 ，垂足为F，设 ， ， ，
则 ， ，又 ，
答案第17页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 舍去 ，所以 ；
设 ， ，由 ，由题： ，
，又 ，
，
由余弦定理得： ，当且仅当
时取等号，
的最小值为
答案第18页，共2页16．(1)证明见解析；
(2)选条件②，
【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得证；
（2）先判断只有条件②符合，再利用空间向量法求得二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：在正方形 中， ， 平面 ， 平面
所以 平面 ；
（2）由（1）知 平面 ，又 平面 ，平面 与平面 交于EF．
，又 ，
所以四边形 为等腰梯形，四边形 为梯形；
条件①： ， ，则 平面 ，即 平面
又 平面 ， ，此时四边形 不为等腰梯形，故条件①不符合
条件③：平面 平面 ，且平面 平面
又 ， 平面 ， 平面 ，
此时四边形 不为等腰梯形，故条件③不符合；
条件②：平面 平面 ， ；
过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
又 平面 ，
答案第19页，共2页
学科网（北京）股份有限公司以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
在四边形 中， ， ， ，所以 ，
在正方形 中， ，所以
因为 ，且 ，所以
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量
由 ，令 ，则
设平面 的一个法向量
由 ，令 ，则
设平面 和平面 的夹角为 ，
则
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为
答案第20页，共2页17.解： ，则 ，
在 处的瞬时变化率为
令 ， ，由条件知 恒成立，
因为 ，又 的图像在定义域上是连续不间断的，
所以 是 的一个极大值点，则 ，又 ，
所以 ，得 ，
下证当 时， 对任意 恒成立，
答案第21页，共2页
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
，即 ，而 ，
所以，当 时， 恒成立.
综上，若 恒成立，则 .
18.【答案】（1） （2）答案见解析,
【小问1详解】
因直线 的垂直平分线交直线 于点Q，则 ，由
可知，点 的轨迹是以点 为两焦点的椭圆，
且 ，故 ，则点 的轨迹方程为： .
【小问2详解】
答案第22页，共2页如图，设 ，直线 的方程 ，将其与椭圆方
程 联立消元整理得：
，且
，
由（1）知 ,设 ，由 三点共线得： ；由
三点共线得： ，
则
答案第23页，共2页
学科网（北京）股份有限公司.
故直线 的斜率 ，则直线 的方程为： ，将其与直线
的方程联立，解得： ，
因此点R在定直线 上，使得 的面积为定值的点 一定为过点 且与直线
平行的直线 与椭圆的交点.
由 解得： 或 ，此时点 的坐标为 或 .
故 的面积为：
19．(1)分布列见解析； (2) (3)
【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公
式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望；
（2）由这n人的合计得分为 分，则其中只有1人计划既参观瘦西湖又游览大运河博
物馆，得到 ，结合乘公比错位相减法求和，即可求解；
（3）记“合计得分恰为 ”为事件A，“合计得 分”为事件B，得到
，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，
答案第24页，共2页得到答案
【详解】（1） 的人计划只参观瘦西湖，另外 的人计划既参观瘦西湖又游览大运河博
物馆，每位游客若只参观瘦西湖记1分；
既参观瘦西湖又游览大运河博物馆记2分．每位首次来扬州旅游的游客计划是否游览大
运河博物馆相互独立，视频率为概率．
随机变量 的可能取值为 2，3，4，
可得 ，
的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 ；
（2）由这 人的合计得分为 分，
则其中只有1人计划既参观瘦西湖又游览大运河博物馆，
则 ，
由两式相减， 可得
；
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，
答案第25页，共2页
学科网（北京）股份有限公司则这些人的合计得分可能为 分或 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事
件，
，
，即
，则数列 是首项为 ，公比为 的等比
数列，
， .
答案第26页，共2页
