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2024—2025 学年度高三下学期开学质量检测
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B B A C B AB AC
题号 11
答案 ACD
12．36 13． 14．
15．(1) (2)
（1）方程 可化为 ，
此方程表示圆， ，即 ，
故实数 的取值范围是 ；
（2）
由（1）可得圆心 ，半径 ，
如图，过点 作 于点 ，则 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
由图可得： ，即 ，
解得： ．
即 的值为2.
16．(1) (2)证明见解析
（1）由题意， ，
即 ，
化简得 ，
即 ，故 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，解得 或 （舍去），故 ．
（2）要证 ，即证 ，即证 ，
由（1）， ，所以 ，即证 ．
不妨设 （其中 ），
则
显然恒成立．
故 ，命题得证．
17．（1）证明见解析；（2） ．
（1）因为 ， 为 中点，所以 ，因为 是矩形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知， 平面 ，
故以点A为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，如图：
则 ， ， ， ， ，则
，
所以 ， ， ， ，
由（1）知， 为平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，
因为二面角 为锐角，则二面角 的余弦值为 .
18．(1)是，定值1 (2)
(3)
（1）由 ，
可得
；
（2）因为 ，所以f (x)为奇函数，
所以不等式 为 ，
又因为 是单调增函数，所以 ，所以 ，
所以不等式的解集为 .
（3）令 ，知 在 上单调递增，所以 ，又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，开口向下，对称轴为 ，
当 时， 是单调增区间，所以 时取最大值 ；
当 时， 是单调减区间，所以 时取最大值 ；
当 时， 是单调增区间， 是单调减区间，
所以 时取最大值 ；
19．(1) (2)（i）证明见解析，（ii）
（1）设动圆 的半径为 ，由题意得圆 和圆 的半径分别为 ， ，
因为 与 ， 都内切，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，故 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设 的方程为： ，
则 ， ，所以 ，
故 的方程为： .
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学科网（北京）股份有限公司（2）（i）证明：设A(x ,y )，B(x ,y )， ，
1 1 2 2
由题意中的性质可得，切线 方程为 ，
切线 方程为 ，
因为两条切线都经过点 ，所以 ， ，
故直线 的方程为： ，显然当 时， ，
故直线 经过定点(1,0).
（ii）设直线 的方程为： ，
联立 ，整理得 ，
由韦达定理得 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 得，
，
所以直线 经过定点 ，又 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时，即 时取等号.
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