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学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2024-2025学年第二学期高三年级期初学情调研测试数学参考答案
1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A
9. AD 10.ABD 11.BCD 12.64 13. 14.
15.（1）根据题意，可得如下的 的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
..............................................................2分
则 ................4 分
所 以 有 的 把 握 认 为 喜 欢 阅 读 电 子 书 与 年 龄 有 关 ． .................6 分
（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为 4 名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为 3 名，
所 以 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 3
由超几何分布的分布列可得
， ，
， ........................10 分
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
............................................11分
则期望为 . .............13分
16.（1）取 的中点 ，连接 ， ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
在正方形 中， ，所以 ，
所 以 ，
又 ，所以 ，即 ，................3分
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，......5分
所以四棱锥 的体积为 ； ....7分
（ 2 ） 过 作 交 于 ， 则 ， 结 合 （ 1 ） 中 平 面 ，
故可建以 为原点， 、 、 所在直线为 、 、 轴的空间直角坐标系，如图所示，
所以 ， ， ， ，
故 ， ，.......................9分
设平面 的法向量为 ，
则 ， 故 ，
取 ， 则 ， ，
故平面 的一个法向量为 ， ......................11分
因 为 平 面 ， 所 以 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， .......12 分
所 以 ， .......................13 分
学科网（北京）股份有限公司设二面角 的大小为 ，由图可知 为锐角，
所以 ,所以
所以二面角 的平面角的正弦值为 ．.....................15分
17.（1）由题意，当 时， ，得 ， , ....1分
当 时， ，① ，②
① ②得 ， ....................................3分
因为 ，所以 ．则 ， .....5分
∵ ，∴ ，
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列. ...............6分
所以 ，则 . ...............8分
（2）由 ，
则 ， ............. 11分
所以 的前 项和：
. ............. 15分
18.（1）由 ， ，
学科网（北京）股份有限公司得 .
令 ，解得 . ............. 2分
当 时， ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增. ............. 4分
当 时， 恒成立， 在 上单调递增. ............. 5分
当 时， ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增. ............. 7分
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ........ 8分
（2）因为对任意 ，均存在 ，使得 ，
所以 . ............. 9分
当 时， 取得最大值，最大值为0. ............. 10分
由（1）得，
Ⅰ）当 时， 在 上单调递增， 上单调递减
即当 时， 取得最大值 ，
解得 ，即 . ............. 12分
Ⅱ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
学科网（北京）股份有限公司，
，又因为 ，所以 无解；.... 14分
Ⅲ）当 时， 在 单调递增区间， ，
所以 无解； ............. 15分
Ⅳ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
又因为 ，所以 无解.......... 16分
综上所述， 的取值范围为 . ............. 17分
19.（1）由 ，得 ，所以椭圆E的方程为 . ......... 3分
（2）显然直线l的的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ， ，
则点 的坐标为 ，
联立方程 ，消去 整理得
则 ，且 ， .................5分
又因为直线 的方程为 ，
令 ，得 的横坐标为
.................8分
学科网（北京）股份有限公司所以 为定值. .................9分
（3）依题意， ，设 ，直线 斜率为 .
若直线 的斜率为0，则点 关于 轴对称，必有 ，不合题意.
所以直线 的斜率必不为0，设其方程为 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可得 ，...............10分
因为 是椭圆上一点，满足 ，
所以 ，
则 ，即 .
因为
所以 ，此时 ，
故直线 恒过 轴上一定点 . ...............13分
学科网（北京）股份有限公司因此
所以 ...............15分
令 ，则 ，
当 ，即 时， 取得最大值 . ...............17分
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