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北京市丰台区 2022-2023 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学
2023.03
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
.
2 设 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆 与 轴相切，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
4. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
5. 在平面直角坐标系 中，若角 以 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为 ，则
的一个可能取值为（ ）
.
A B. C. D.
6. 在 中，若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7. 设无穷等差数列| 的前n项和为 ，则“对任意 ，都有 ”是“数列 为递增数列”的（）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知抛物线 的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的
距离为 ．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（
）
A. 1 B. C. 2 D.
9. 已知函数 的定义域为 ，存在常数 ，使得对任意 ，都有 ，当
时， ．若 在区间 上单调递减，则t的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
10. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点 在棱 上，
点 在棱 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 的体积的最大值为 ；
② 的最小值为 ；
③点 到直线 的距离的最小值为 ．其中所有正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数 是纯虚数，则 ________．
12. 已知正方形 的边长为 ，则 ________．
13. 从 ， ， ， ， 这 个数中任取 个不同的数，记“两数之积为正数”为事件 ，“两数均为负数
为事件 ．则 ________．
14. 设函数 若 存在最小值，则 a 一个取值为_______；a 的最大值为
的
________．
15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家 Pappus
（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角
的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与
弧AB的交点记为E，连接CE，则 ．
①双曲线H的离心率为________；
②若 ， ，CE交AB于点P，则 ________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．的
16. 已知函数 部分图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）若函数 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
17. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O， ，
．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．
（1）求证： 平面PCD；
（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为 ，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为
已知，求线段OP的长．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI
的公式为： ，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：
（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高
的天数记为 ，求 的分布列及数学期望 ；
（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为
，将2022年同期TPI依次记为 ，记 ， ．请直
接写出 取得最大值时 的值．
19. 已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点 的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线 的垂线（点B，C在直
线l的两侧）．垂足分别为M，N，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试问：是否存在常数t，使得 ， ， 总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．
20. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有两个不相等的零点 ， ．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明： ．
21. 已知集合 ，对于集合 的非空子集 ．若 中存在三个互不相同
的元素 ， ， ，使得 ， ， 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”．
（1）试判断集合 ， 是否为集合 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明
理由）
（2）如果一个集合中含有三个元素 ， ， ，同时满足① ，② ，③ 为偶数．
那么称该集合具有性质 ．对于集合 的非空子集 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”的充要条件
是集合 具有性质 ；
（3）若 的任意含有 个元素的子集都是集合 的“期待子集”，求 的最小值．
