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北京市丰台区 2022-2023 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学
2023.03
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集运算求解.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选:D.
2. 设 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一判断，对A取 ， ，可得结果；对B取 ， 可得结果；对C利用不等
式的性质判断即可；对D取 可判断.
【详解】解：A.取 ， ，则 不成立；B.取 ， ，则 不成立；
C.∵ ，∴ ，正确；
D.取 ，∵ ，∴ ，因此不成立.
故选：C.
3. 已知圆 与 轴相切，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心和半径，即可求解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 .
因为圆与 轴相切，所以 .
故选：C
4. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数 的性质及所给函数解析式计算可得.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
所以 .
故选：A
5. 在平面直角坐标系 中，若角 以 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为 ，则
的一个可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据三角函数的定义得到 ，再根据特殊角的三角函数判断即可.
【详解】依题意可得 ，则 或 ，
所以 的一个可能取值为 .
故选：B
6. 在 中，若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用内角和定理及诱导公式得到 ，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代
入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到 ，即 ，即可确定出三角形
形状．
【详解】解： 在 中， ，
，即 ，
， ，
，即 ，则 为等腰三角形．
故选：A．
7. 设无穷等差数列| 的前n项和为 ，则“对任意 ，都有 ”是“数列 为递增数列”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意 ，都有 ”，所以 ，
所以“数列 为递增数列”成立.故充分性满足；
必要性：因为“数列 为递增数列”，取数列：-1，1，3，5……符合数列 为无穷等差数列|，且
为递增数列，但是 .故必要性不满足.
故“对任意 ，都有 ”是“数列 为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：A
8. 已知抛物线 的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的
距离为 ．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（
）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.利用几何法求出直角三角形 的三边，利
用勾股定理即可求解.
【详解】如图示：
过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.
因为四边形ABOF为等腰梯形，所以 ， .
所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
所以 .
由抛物线的定义可得： .
在直角三角形 中， , .
由勾股定理可得： ，解得： .
故选：C
9. 已知函数 的定义域为 ，存在常数 ，使得对任意 ，都有 ，当
时， ．若 在区间 上单调递减，则t的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为存在常数 ，使得对任意 ，都有 ，
所以函数的周期为 ，
当 时，函数 在 单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递减，因为 在区间 上单调递减，
所以有 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.
10. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点 在棱 上，
点 在棱 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 的体积的最大值为 ；
② 的最小值为 ；
③点 到直线 的距离的最小值为 ．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将 翻折到与矩形 共面时连接 交 于点 ，
此时 取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空
间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.【详解】在直三棱柱 中 平面 ，
对于①：因为点 在棱 上 ，所以 ，又 ，
又 ， ， ，点 在棱 上，所以 ，
，
所以 ，当且仅当 在 点、 在 点时取等号，故①正确；
对于②：如图将 翻折到与矩形 共面时连接 交 于点 ，此时 取得最小值，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
即 的最小值为 ，故②错误；
对于③：如图建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，
，
所以 ， ，
则点 到直线 的距离，
当 时 ，
当 时 ， ， ，则 ，
所以当 取最大值 ，且 时 ，
即当 在 点 在 点时点 到直线 的距离的最小值为 ，故③正确；
故选：C
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数 是纯虚数，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.
【详解】 ，因为 是纯虚数，所以 ，解得 .
故答案为：
12. 已知正方形 的边长为 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.
【详解】因为正方形 的边长为 ，所以 ， ， ，
所以 .
故答案为：
13. 从 ， ， ， ， 这 个数中任取 个不同的数，记“两数之积为正数”为事件 ，“两数均为负数
为事件 ．则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式求出 ， ，再由条件概率的概率公式计算可得.
【详解】从 ， ， ， ， 这 个数中任取 个不同的数有 种取法，
其中满足两数之积为正数的有 种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有 种取法，
所以 ， ，所以 .
故答案为：
14. 设函数 若 存在最小值，则 a 的一个取值为_______；a 的最大值为
________．
【答案】 ①. 1（≤1的任一实数，答案不唯一）； ②. 1
【解析】
【分析】利用导数讨论函数 的单调性，分析取最值的情况，进行求解.
【详解】记函数 ，则 .
令 ，解得： .
列表得：
+ 0 - 0 +
单增 单减 单增
对于函数 ，当 时， 不能取得最小值，
所以 存在最小值， 的最小值只能在 时， 时取得.
当 时， 在 单减，在 单增，在 单减，在 单增.所以
最小值为 ，即存在最小值；
的当 时， 在 单减，在 单减，在 单增.所以 的最小值
为 ，即存在最小值；
当 时， 在 单减，在 单减，在 单增.所以
的最小值为 ，即存在最小值；
当 时， 在 单减，在 单增.所以 的最小值为 ，即存在最小
值；
当 时， 在 单减，在 单增，且 ，所以
的最小值为 ，即存在最小值；
当 时， 在 单减，在 单增，且 ，不能取得最小值.
综上所述：当 时函数 存在最小值.
故答案为：①1（ 的任一实数，答案不唯一）；②1.
15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus
（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角
的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与
弧AB的交点记为E，连接CE，则 ．①双曲线H的离心率为________；
②若 ， ，CE交AB于点P，则 ________．
.
【答案】 ① 2 ②.
【解析】
【分析】①根据图形关系确定 即可求解；利用面积之比 ，
进而可求出 ，再根据 求解.
【详解】①由题可得 所以 ，
所以双曲线H的离心率为 ；
②，因为 ，且 ，
所以 ,
又因为 ，所以
所以 ，
所以 ,因为 ,解得 ，
所以 ,
故答案为:2; .
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）若函数 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为 和最小值为0
【解析】
【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到 ，进而得到 的解析式；
（2）根据三角恒等变换化简 ，进而分析在区间 上的最大值和最小值.
【小问1详解】
由图象可知： ，
将点 代入 得 ，∴
【小问2详解】
由 得
当 时，即 ；
当 时，即 ；
17. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O， ，
．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．
（1）求证： 平面PCD；
（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为 ，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为
已知，求线段OP的长．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；
(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.
【小问1详解】
因为底面 是菱形，所以 是 中点，
因为E是棱PA的中点，所以 ，
为
又因 平面PCD, 平面PCD,
所以 平面PCD.
【小问2详解】
选择条件①:
因为 ， 是 的中点，所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又 ，所以 两两垂直，
以 为原点建立空间直角坐标系 ,因为菱形的边长为2，
所以 ,
所以 设
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
由 得 所以
取 ，所以 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ,
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为 ,
所以 ，所以
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .
所以线段OP的长为 .
选择条件②:因为 .在菱形 中， ，
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ，所以 ，因为 ,
所以 两两垂直，
以 为原点建立空间直角坐标系 ,
因为菱形的边长为2，
所以 ,
所以 设
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
由 得 所以
取 ，所以 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ,
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为 ,
所以 ，所以
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .所以线段OP的长为 .
18. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI
的公式为： ，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：
（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高
的天数记为 ，求 的分布列及数学期望 ；
（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为
，将2022年同期TPI依次记为 ，记 ， ．请直
接写出 取得最大值时 的值．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）【解析】
【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；
（2）结合题意先求出 的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；
（3）结合题意先求得 ，进而即可求解.
【小问1详解】
由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为 .
【小问2详解】
由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
数学期望 .
【小问3详解】
由题意， ，
，
，
，，
，
，
所以 ，
所以 取得最大值时， .
19. 已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点 的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线 的垂线（点B，C在直
线l的两侧）．垂足分别为M，N，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试问：是
否存在常数t，使得 ， ， 总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在 ，使得 ， ， 总成等比数列.
【解析】
【分析】(1)根据 的关系求解；
(2)表示 ， ， 的面积，利用韦达定理表示出 即可求出常数t的值.
【小问1详解】
根据已知可得 ，所以 ，
所以椭圆E的方程为 .
【小问2详解】
由已知得， 的斜率存在，且 在 轴的同侧，
设直线 的方程为 ， ，不妨设 ，
则
由 得
所以
因为 ，
所以
，，
要使 ， ， 总成等比数列，则应有 解得 ，
所以存在 ，使得 ， ， 总成等比数列.
20. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有两个不相等的零点 ， ．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明： ．
【答案】（1）函数 无极大值，有极小值 .
（2）（i） .（ii）见详解.
【解析】
【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值.
(2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.
（ii）利用构造对称函数以及导数进行证明.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，因为 ，
由 有： ，由 有： ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，所以函数 无极大值，有极小值 .
【小问2详解】
（i）由(1)有：函数 在 单调递减，在 单调递增，
若函数 有两个不相等的零点 ， ，则 ，解得 ，
所以 ，因为当 时， ，所以 ，
所以 在 上有1个零点，
当 时， ，又“指数爆炸”，所以 ，
所以 在 上有1个零点，
综上，当 时，函数 有两个不相等的零点 ， .
（ii）由（i）有：当 时，函数 有两个不相等的零点 ， ，
不妨设 ，构造函数 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，当前仅当 时取到等号，
所以 ，所以 在R上单调递减，
又 ，所以 ，即 ，即 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，
由(1)有：函数 在 单调递减，所以 ，
即 ，结论得证.
21. 已知集合 ，对于集合 的非空子集 ．若 中存在三个互不相同
的元素 ， ， ，使得 ， ， 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”．
（1）试判断集合 ， 是否为集合 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明
理由）
（2）如果一个集合中含有三个元素 ， ， ，同时满足① ，② ，③ 为偶数．
那么称该集合具有性质 ．对于集合 的非空子集 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”的充要条件
是集合 具有性质 ；
（3）若 的任意含有 个元素的子集都是集合 的“期待子集”，求 的最小值．
【答案】（1） 是集合 的“期待子集”， 不是集合 的“期待子集”
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质 的定义证明即可；
（3）首先利用反例说明当 、 时不成立，再利用数学归纳法证明集合 的任意含有
个元素的子集，都是 的“期待子集”，即可得解.
【小问1详解】
因为 ，对于集合 ，令 ，解得 ，显然 ， ，
所以 是集合 的“期待子集”；
对于集合 ，令 ，则 ，
因为 ，即 ，故矛盾，所以 不是集合 的“期待子集”；
【小问2详解】
先证明必要性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的 ，使得 ，
不妨设 ，令 ， ， ，则 ，即条件 中的①成立；
又 ，所以 ，即条件 中的②成立；
因为 ，
所以 为偶数，即条件 中的③成立；
所以集合 满足条件 .
再证明充分性：
当集合 满足条件 时，有存在 ，满足① ，② ，③ 为偶数，
记 ， ， ，
由③得 ，由①得 ，由②得 ，
所以 ，
因为 ， ， ，所以 ， ， 均属于 ，即集合 是集合 的“期待子集”.
【小问3详解】
的最小值为 ，理由如下：
一方面，当 时，对于集合 ，其中任意三个元素之和均为奇
数，由（2）知， 不是 的“期待子集”；
当 时，对于集合 ，
从中任取三个不同的元素，若不含有 ，则不满足条件 的③，
若含有 ，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于 ，
故不满足条件 中的②，所以 不是 的“期待子集”；
所以 .
另一方面，我们用数学归纳法证明集合 的任意含有 个元素的子集，都是 的“期待子集”：
（I）当 时，对于集合 的任意含有 个元素的子集，记为 ，
当 、 、 三个数中恰有 个属于 时，则 ，因 为数组 、 、 、
、 都满足条件 ，
当 三个数都属于 ，因为数组 满足条件 ，
所以此时集合 必是集合 的“期待子集”，
所以当 时 的任意含有 个元素的子集都是集合 的“期待子集”.
（II）假设当 时结论成立，即集合 的任意含有 个元素的子集都是 的“期待子集”，
那么 时，对于集合 的任意含有 个元素的子集 ，
分成两类，①若 ， 至多有 个属于 ，则 中至少有 个元素都在集合 ，由归纳假设知，结论成立；
②若 ， ，则集合 中恰含 的 个元素，此时，当 中只有一个奇数时，则集合
中包含 中的所有偶数，此时数组 ， ， 符合条件 ，结论成立；
当集合 中至少有两个奇数时，则必有一个奇数 不小于 ，此时数组 ， ， 符合条件 ，结论
成立，所以 时结论成立，
根据（I）（II）知，集合 的任意含有 个元素的子集，都是 的“期待子集”，所以 的最小值为
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的
其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
