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2025 北京师大附中高三三模考试
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，那么集合 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 、 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. “ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥 ， ，底面 是等腰直
角三角形，且 ，顶点P到底面 的距离为6，则点B到平面 的距离为（ ）.
A B. C. D.
7. 已知直线 与圆 交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 10 C. D.
8. 已知函数 ，其中 .如图 A，B 是直线 与曲线
的两个交点，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即 其中 是信道容量，单位bps； 为信道带宽，单位Hz； 代表接收信
号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道
带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低 90%以上，需将信道容量由 17.3Mbps提高至
593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据： ，
）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 已知数列 的各项均为正数，且满足 （ 是常数， ），则下列四个结论
中正确的是（ ）
A. 若 ，则数列 是等比数列
B. 若 ，则数列 是递增数列
C. 若数列 是常数列，则
D. 若数列 是周期数列，则最小正周期可能为2
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知 ，则 _______.
12. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，则抛物线 上一点 到准线 的距离为
_____.
13. 已知等比数列 的前 项和为 ，满足 ， .则 为_____；满足 的最小
的整数 为_____.
的
14. 在锐角 中， ， ， ， 角平分线交 于 D，则_____； _____.
15. 造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 的一部分.已知 过坐标原点 .且 上的点满足
横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为 .有以下四个结论：
① ；
②曲线 上存在点 ，满足 ；
③若点 是曲线 第一象限上的点，则 的面积的最大值为 ；
④当点 在上时，不等式 恒成立；
其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在棱长为 2的正方体 中，M、E分别是 、 的中点，点 F在线段
上， 平面 .
（1）证明：F是 的中点；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.17. 已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数 存在，求出 ， 的值，
并证明：当 时， .
条件①： ；
条件②：当 时， 的最小值为 ；
条件③： 图象关于直线 对称.
的
注：如果选择 条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分.
18. 投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，
以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.
为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，
选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.
活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表.
壶1 壶2 壶3
投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中
高三年级 40 160 90 60 60 90
假设用频率估计概率
（1）若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率.
（2）投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、
壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束.
某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生
在“过关比赛”中仅投中一次的概率.
（3）为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生
投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最
大?（只需写出结论）.
.
19 已知椭圆 ： 过 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， ，过点 的直线 与椭圆交于 两点，连接 、 交x轴于 两
点（ 不重合），已知 ，求直线 的方程.
20. 已知函数 ， ， ．
（1）若 在点 处的切线平行于直线 ： ，求 的值；
（2）求 的单调区间；
（3）当 时，求证：对任意 ，恒有 成立．
21. 记集合 ， 表示集合 中元素的
个数.
（1）求 和 ；
（2）求证：当 为奇数时， ；
（3）求 .
