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华南师范大学附属中学 2026 届高三综合测试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在
答题卡的相应位置填涂考生号。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．若复数z满足 （其中i是虚数单位），则
A． B． C．2 D．
3. 为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单
位：℃），数据如下： ， ，1，0， ，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，
正确的是
A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0
C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0
试题第1页 共4页
学科网（北京）股份有限公司4. 记 为正项等比数列 的前 项和，已知 ，则该数列的公比为
A．4 B． C．1 D．2
5. 若 ， ， ，则
A． B． C． D．
6. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， 的面积为 ，则
A． B． C． D．
7．某学校派出包括小明，小红在内的 12名志愿者参加志愿活动，活动过程中需要将他们随
机平均分成3个小组，那么小明和小红出现在同一个小组的概率为
A． B． C． D．
8．已知函数 ， R，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 m
=
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
10．已知随机事件 满足 ， ， ， ，则
A． B．事件 与 相互独立
试题第2页 共4页
学科网（北京）股份有限公司C． D．若 ，则
11. 已知平面直角坐标系中的任意两点 ，定义 两点的“复运算”为
，记为 .已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点
在双曲线 上，点 为平面内任意一点，则
A．若 ，则 的轨迹为 和
B．
C．满足 的点 共7个
D．对于任意的点 ，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在平面直角坐标系中，点 的位置如图所示，
则 =_________.（用坐标表示）
13．在正四棱台 中， ，若侧面与底面的夹角为 ，则该四棱
台的体积为__________.
14.已知圆 的圆心在曲线 上，若圆 与直线 交于 两点，且 ，过
原点 的直线交圆 于 两点，则 的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数 ，满足对于任意实数 ，都有 恒
试题第3页 共4页
学科网（北京）股份有限公司成立，且函数 相邻两个零点的距离是 .
（1）求 的解析式和单调递增区间；
（2）若 ，且满足 ，求 .
16. （15分）
已知 为坐标原点，椭圆 与抛物线 在第一象限
的交点为 ，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍.
（1）求椭圆 和抛物线 的标准方程；
（2）设直线 交抛物线 于两点 ，若 的中点 在椭圆 上，求
的坐标.
17. （15分）
如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个等腰梯形，BE∥CD，
ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△ 的位置，连接 ，使得
＝2，如图2所示．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的外接球的半径；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18. （17分）
已知函数 ， 为 的导数.
试题第4页 共4页
学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 的极值；
（2）若 在 单调递增，求 的取值范围；
（3）讨论 的零点个数.
19. （17分）
若数列 满足 ，则称数列 为 项 数列，由所
有 项 数 列 组 成 集 合 . 集 合 中 任 意 两 个 数 列 ， 记
.
（1）已知 中的两个数列 , ，其中 ，且满足 ，请列举所有满足
条件的数列 ；
（2）从 中随机抽取两个互不相同的数列 . 令 ，求随机变量 的分布
列，并证明： ；
（3）对 中的任一数列定义“随机取反操作”：对该数列的每一项 ，独立地以概率
变为 ，以概率 保持不变. 现给定两个确定的数列 ，且满足 ，
若对数列 连续进行 次“随机取反操作”，记最终得到的新数列为 . 令 ，
求 的数学期望（结果用 表示）.
（参考知识：若 为随机变量，则有 ）
试题第5页 共4页
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