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华南师范大学附属中学 2026 届高三综合测试
数学 参考答案
一、选择题
1．【答案】B
【详解】因为 ， ，则 .故选：B.
2．【答案】B
【详解】由 可得 ，即 ，
故 .
3．【答案】D
【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得 ， ， ，0，1，1，1. 对于A，统计数据中 出
现的次数为3次，且次数最多，所以众数是 ，所以A错误；
对于B，统计数据的平均数为 ，所以B错误；
对于C，统计数据的极差为 ，所以C错误；
对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为 ，所以D正确.
4．【答案】D
【详解】设公比为 ，
若 ，则由 ，可得 ，解得 ，不符合题意，所以 ；
由 ，则 ，显然 ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值已舍去）. 故选：D
5. 【答案】A
【详解】因为 ,2>1,所以 ,
因为 ,所以指数函数 为递减函数,
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学科网（北京）股份有限公司又-0.1<0.2,所以 ,即 ,综上所述, .故选:A
6. 【答案】A
【详解】在 中，由 及 的面积为 ，得 ，
即 ，解得 ，由正弦定理 ，得 ，
因此 ，所以 .
7. 【答案】D
【详解】由题可知，每组4人，不妨先让小明随机选定一个位置，此时还剩下12-1=11个位置可供小红选择。而在
小明所在的小组中，还剩下4-1=3个空位。 因此，小红恰好和小明分在同一组的概率为 .
8. 【答案】D
【详解】函数 ，定义域为 .又 ，
所以函数 为偶函数. 当 时， ，
令 ，得 ，显然 ， ，解得 或 .
由 有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为 .
因零点成递增等差数列，故排序为 ，
设公差为 ，则： ， ，
即 ，化简得 ，两边同乘 得 ，故 .
二、选择题：
9. 【答案】AD
【详解】若 ， ，则 ，选项A正确;
若 ， ，则 或m与n相交或m与n异面，选项B错误;
若 ， ，则 或α与β相交，选项C错误;
若 ， ，则 或 ，又 ，则 ，选项D正确.
10. 【答案】ACD
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，由 ，可得 ，A正确；
对于B， ，事件 与 不是相互独立的，B错误；
对于C，由 ，所以 ，C正确；
对于 D，由题有 ，所以 ，故 ，则
，D正确.
11. 【答案】AC
【详解】 ，即
则 ，则 或 ，所以A正确；
取 ， ，由A知， ， ，
由定义知 ，所以B错误；
若 ，则 ，则 的轨迹为
和
一对等轴双曲线，则 ，
即为同时满足以上两个条件的两对等轴双曲线的交点个数。如图所示，所以共有7个交点，C正确
不妨设 在双曲线的右支上，
可知，存在点 满足 ，即
由双曲线定义知 ，
所以
则
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学科网（北京）股份有限公司则 .当 时， .
所以D错误；
三、填空题：
12. 【答案】（11,1）
【详解】由图可得 ，
所以 ，则 = (11,1). 故选：C
12. 【答案】
【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为 ，连接 ，则 平面 ，
取 的中点 ，连接 ，易知 ，且 ，
过 作 交 于 ，则 平面 ，又 平面 ，
则 ，
故可得 平面 ，则 ，由侧面与底面的夹角为 ，
则 ，
又 ，则 ， ，
由 ，得到 ，即 ，又 ，
所以四棱台的体积为 .
14. 【答案】3
【详解】设过原点的切线的切点为 ，则 ，
则 的最小值，即为求 的最小值，
设 ，圆 的半径为 ，可得
而
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 取到最小值.所以最小值为3.
四、解答题：
15．【详解】（1）函数 相邻两个零点的距离是 ，故 ，解得 ， ……1分
对于任意实数 ，都有 恒成立，故 ……2分
即 ，故 ， ……4分
因为 ，故 ，所以 ， ……5分
若 ， ， ……6分
则 ， ， ……7分
故 的单调递增区间为 ； ……8分
（未写成区间的形式或未写k的范围都要扣掉这一分）
（2）若 ，则 ，故 ， ……9分
因为 ，
故 ……11分
故 ……13分
（能写出 可给1分）
16. 【解答】（1） 因为 在抛物线 上，则 ，所以抛物线 的方程为 ；……………2分
又椭圆的长轴长是短轴长的两倍，可得 ，…………………………………………3分
则 ，解得 ，………………………………………………5分
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学科网（北京）股份有限公司所以椭圆 的方程为 ；…………………………………………6分
（1）设 的坐标分别为 ，
联立 ，得 ，……………………………………7分
由题意得 ，……………………………………………………8分
则 ，……………………………………9分
则中点坐标为 ，………………………………………………10分
又中点 在椭圆 上，则满足
整理得： ，
解得 或 （舍去）……………………………………………………………………13分
则 或 ，所以 的坐标为 或 ……………………………………………………15分
17. 【详解】（1）取BE的中点为O，连接 ，OC，OD，
由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，可得 ，…………………1分
又由等腰梯形 BCDE，且 ED＝DC＝CB＝1，可得 OC＝OD＝1，且
，
因为 ＝2，所以 ，所以 ，…………2 分
因为OC BE＝O，且OC，BE 平面BCDE，…………………………3分
所以 平面BCDE，…………………………………………4分
因为 平面 ，所以平面 平面 ；…………………5 分
（2）连接 ，易得 ，因为 ,所以 ,
所以△ 的外接圆圆心为 ，……………………………………6分
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学科网（北京）股份有限公司又 平面BCDE，
所以三棱锥 的外接球的球心 在直线 上，………………………7分
如下图，设外接球半径为 ，
设 ，则 ，解得 ，…………………………8 分
所以 .……………………………………9分
（2）取CD的中点F，连接OF，
因为四边形BCDE为等腰梯形，
且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为 ⊥平面BCDE，………………10分
以O为坐标原点，OB，OF， 所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得 ， ，
，
所以 ， ，……………………12分
设平面 的法向量为 ，则
，
取 ，可得 ， ，所以 ，……………………………………13分
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
…………………………………………14分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．……………………………………15分
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学科网（北京）股份有限公司18. 【详解】
（1） 的定义域为 . ……1分
， ， ……2分
若 ，则当 时， ；当 时， ， ……3分
所以 的极小值为 ，无极大值. ……4分
（2） 在 单调递增等价于 恒成立. ……5分
①若 ，则当 时， ，即 ，不合题意，舍去. ……6分
②若 ，则 在 单调递增，符合题意. ……7分
③若 ，由（1）得， 在 单调递减，在 单调递增，从而 等价于
，解得 . ……8分
综上所述， 的取值范围为 . ……9分
（3）方法一：
①若 ，则 在 单调递增， 时， ；
时， ，所以 在 存在唯一零点； ……10分
② 若 ， 则 在 单 调 递 减 ， 又 因 为 ， 当 时 ，
，所以存在唯一 ，使得 ，且 时，
……11分
； 时， ，故 在 单调递增，在 单调递减，其中
， ……13分
且当 和 时，均有 ，故 在 和 各有一个零点，故 在 有
两个零点. ……14分
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学科网（北京）股份有限公司③若 ，由（1）（2）得 在 单调递减，在 单调递增，且当 和 时，均有
， ，故存在 ，使得 ，与②同理得 在
单调递增，在 单调递减，在 单调递增， ……15分
又由②得 ， ，当 时， ，故
， ， 无零点； 在 存在唯一零点，
故 在 存在唯一零点. ……16分
综上所述，当 时， 在 的零点个数为1；当 时， 在 的零点个数为2.
……17分
方法二：
令 得 ，
注意到 不是该方程的解，故 不是 的零点，从而有 ……10分
，设 ， ，
……12分（求导1分，正确判断其恒正1分）
故 在 和 单调递增， ……13分
时， ， ，故 ；
时， ， 时， ， ……14分（结论即可）
时，由洛必达法则，
.
【另一表述】与一次函数 相比，对数函数 增长的非常缓慢，故 .
……15分（必须要有洛必达法则，或增长速度的描述）
所以 的草图为
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学科网（北京）股份有限公司……16分（必须有图，占1分）
的零点个数等于水平直线 与函数 的图象的交点个数，
故当 时， 在 的零点个数为1；当 时， 在 的零点个数2. ……17分
19、【详解】（1）由题意可知，满足条件的数列 是： . -------------------------------------3
（2）因为数列 是从集合 中任意取出的两个不同的数列，所以， 的可能取值为：
.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4
当 时，数列 中有 项取值不同，有 项取值相同，又因为集合 中元素的个
数共有 个，所以， ，-------------------------------6
所以， 的分布列为：
1 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7
因为， ---------------------------------------------------------8
所以，
---------------------------------10（计算结果1分，证明不等式1分）
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学科网（北京）股份有限公司（3）记数列 中任意一项经过 次“随机取反操作”后，其最终值发生改变的概率为 . 考虑第 次操作，
该项最终值发生改变包含两种情况：前 次操作后值未改变（概率为 ），第 次取反（概率为 ）；
前 次 操 作 后 值 已 改 变 （ 概 率 为 ） ， 第 次 未 取 反 （ 概 率 为 ） . 故
-----------------------------------------------------------------------12
化简得：
由题意， ，若 ，可知 ;
若 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 则
，即 .
上式对于 时仍成立，综上， ---------------------------------------------------------------------14
设 ， .由题目所给数学期望的性质，可得
--------------------------------------------------------15
已知初始时 ，即数列 与 对应项不同的位置共有 个，对于这些位置， 意味着第 项的值
发生改变，其概率为 ；
相同的位置共有 个，对于这些位置， 意味着第 项的值未发生改变，其概率为 .
因此有
.-------------------------------------------------------------------17
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