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高三年级 10 月考试数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题、审题：高三数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．
1. 在复平面内， 的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 集合 ，则满足 的集合 的个数为（ ）
A. 4 B. 7 C. 15 D. 16
3. 若双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 2或 D. 或
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则 的
最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，则关于 的不
等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为 ，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行．已知船在静
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学科网（北京）股份有限公司水中的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ．设这艘船行驶方向与水流方
向的夹角为 ，行驶完全程需要的时间为 ，若船的航程最短，则（ ）
.
A B.
C. D.
的
7. 若 ，则下列不等关系一定不成立 是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ，若 存在最小
值且最小值不大于 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 正方体 中，点 分别为棱 的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 平面 D.
10. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的
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学科网（北京）股份有限公司轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线 为坐
标原点，一条平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射，再经过 上的另一点 反射
后沿直线 射出，则（ ）
.
A
B. 是一个钝角三角形
C. 若延长 交直线 于点 ，则点 在直线 上
D. 抛物线 在点 处的切线分别与直线 、 所成的角相等
11. 在 中， 是角 的对应边，满足 ，下列说法正确的
是（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 的面积最大值为
D. 若 ，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 _____．
13. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，等比数列 的首项为 ，若 ，则
的值为_____．
14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件
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学科网（北京）股份有限公司，抛掷 次后事件 发生奇数次的概率记为 ，则 _____， _____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某种疾病分为甲、乙两种类型，为研究该疾病的类型与患者性别是否有关，随机抽取了 名患者进行
调查，得到如下列联表：
疾病类型
性别 合计
甲型病 乙型病
男
女
合计
（1）根据小概率值 的独立性检验，得出了“所患疾病的类型与性别有关”的结论，求 的最小
值；
（2）现对部分人群接种预防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2个周期接种疫苗，每人每周期必须接种
3次，每次接种后，产生抗体的概率为0.8．如果一个周期内至少2次产生抗体，那么该周期结束后终止接
种，否则进入第二个周期．已知每人每周期接种费用为30元，试估计1000人接种疫苗总费用的期望．附
，
.
001 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16. 设数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）证明： 为等差数列；
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学科网（北京）股份有限公司（2）数列 满足 ，当 ，且 时，求 的最小值．
的
17. 如图所示，正四棱锥 中，点 是棱 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）已知异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
（i）求二面角 的正弦值；
（ii）在线段 上是否存在点 ，使 平面 ．若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
18. 设椭圆 的右顶点为 ，上焦点为 ，直线 与椭圆交于不同于 的两点 ， ．
（1）是否存在 ，使 为 的重心，试说明理由；
（2）已知 ，
（i）证明： 恒过定点；
（ii）设点 在 上，且满足 ， 是椭圆上的动点，求 的最大值．
19. 已知函数 ．
（1）当 的最小值为0时，求实数 的值；
（2）给定 ，证明： 存在一个大于 的零点 ，且 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
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