文档内容
2024 年甘肃省西北师大附中高三一模诊断考试试卷
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知复数 是方程 的一个根，则实数 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】代入方程，即可得参数值.
【详解】由复数 是方程 的一个根，
得 ，
解得 ，
故选：D.
2. 设平面向量 ， ，且 ，则 =（ ）
A. 1 B. 14 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，求出 把 两边平方，可求得 ，把所求展开即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 又 ，
则
所以 ，
则
，
故选：
3. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对两式进行平方，进而可求出 值的，根据二倍角公式求出结论.
【详解】解：因为 ， ，
所以平方得， ， ，
即 ， ，
两式相加可得 ，
即 ，
故 ，
.
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司4. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游
热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游
地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360
【答案】B
【解析】
【分析】分恰有 个部门所选的旅游地相同、四个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排
列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.
【详解】①恰有 个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的 个部门取出，有 种；
第二步，从 个旅游地中选出 个排序，有 种，
根据分步计数原理可得，方法有 种；
②四个部门所选的旅游地都不相同的方法有 种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共
有 种．
故选：B
5. 设椭圆C： 的半焦距为c，离心率为e，已知圆O： 与C有四个公共
点，依次连接这四点组成一个正方形，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知点 在椭圆C上可得
答案；方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为 、 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，利用勾股定理、椭圆定义可得答案.
【详解】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知，
点 在椭圆C上，则 ，
将 代入并化简得 ，
因为 ，解得 .
方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为 、 ， ，
，所以 ， ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
6. 以下四个命题，其中正确的个数有（ ）
①经验回归直线 必过样本中心点 ；
②在经验回归方程 中，当变量x每增加一个单位时，变量 平均增加0.3个单位；
③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可
能物理优秀；
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学科网（北京）股份有限公司④在一个 列联表中，由计算得 ，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中
）．
A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】D
【解析】
【分析】由线性回归方程性质可判断AB选项正误；由独立性检验定义可判断CD选项正误.
【详解】A选项，线性回归方程必过 ，故①正确；
.
B选项，当变量x每增加一个单位时，变量 平均减少03个单位，故②错误；
C选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为 ，并不指某人数学
成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误；
D选项，由独立性检验知识可知当 ， 时，可认为99.9%的把握确认
这两个变量间有关系，故④正确.
故选：D
7. 已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的 ，均有 成立，则 的值的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【
分析】根据已知得出 ，公差 ，然后返 和 (即 )分类计算.
【详解】由题意知 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
若 ，此时 ， ， 是等差数列 的前n项和中的最小值，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ，即 ，则 ；
若 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，
综上可得： 的取值范围是 ，
故选:B．
8. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ， ，
则 的最小值为（ ）
A. 9 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得.
【详解】由 的图象恒过定点 ，可得 ， ，则 ；
因 ，
当且仅当 时等号成立，
由 ，可解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故当 时， 的最小值为8.
故选：B.
二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一
年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是： ， .则下列
说法正确的有（ ）
A. 中位数为90，平均数为89
B. 分位数为93
C. 极差为30，标准差为58
D. 去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平均数、方差、标准差、中位数和极差的概念，逐项进行计算验证即可求解.
【详解】对于A，由题意中位数为 ，
平均数为 ，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 分位数为 ，故B正确；
对于C，极差为 ，
方差
，
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学科网（北京）股份有限公司所以标准差 ，故C错误；
对于D，去掉一个最低分和一个最高分，
则平均数为 ，
方差为
，
所以去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小，故D正确.
故选：ABD.
10. 如 图 ， 正 三 棱 柱 的 各 棱 长 均 为 1 ， 点 是 棱 的 中 点 ， 点 满 足
，点 为 的中点，点 是棱 上靠近点 的四等分点，则（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 的最小值为
C. 平面
D. 当 时，过点 的平面截正三棱柱 所得图形的面积为
【答案】AC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】对于 ,利用 ，即可证明；对于 ,将 沿 展开与正方形 在
同一个平面内，则当 三点共线时， 取得最小值,即可求解；对于 ,利用线面平行的
判断定理即可证明；对于 ,根据题中条件首先得到截面图形，进一步求解计算即可.
【详解】由题意可知 ，设点 到平面 的距离为 ，
易知平面 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到线段 的距离，
又 ，所以 ，
所以 ，为定值，
故A正确；
将 沿 展开与正方形 在同一个平面内，
记此时与 对应的点为 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，
，
故 最小值为 ，故B错误；
的
由点 分别为 的中点，得 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司连接 并延长交 于点 ，连接 ，
则过点 的平面截正三棱柱 所得截面图形为 ，
因为 ，平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则点 为 的中点，又点 为 的中点，
所以 ，
当 时，点 为 的中点，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 ，故D错误．
故选：
11. 已知直线 及圆 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 直线 过定点
B. 直线 截圆 所得弦长最小值为2
C. 存在 ，使得直线 与圆 相切
D. 存在 ，使得圆 关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当 时，
直线 截圆 所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点 在圆 内，故C错误；
D选项，当直线 过圆心 时，满足题意，代入计算即可.
【详解】A选项，由 ，
得 ，解得 ，所以直线 过定点为 ，故A正确；
B选项，由圆的标准方程可得圆心为 ，半径 ，直线 过的定点为 ，
为
当 时，直线 截圆 所得弦长最短，因 ，
则最短弦长为 ，故B正确；
C选项， ，故点 在圆 内，所以直线 与圆 一定相交，故C错误；
D选项，当直线 过圆心 时，满足题意，此时 ，解得 ，
故D正确.
故选：ABD.
三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
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学科网（北京）股份有限公司12. 若函数 ，则不等式 的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分 和 两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.
【详解】因为 ，则有：
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .
故答案为： .
13. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．
问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使
之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截
得的该正四棱台的体积为______立方尺（注：1丈 尺）
【答案】3892
【解析】
【分析】画出图形，由平行线段成比例求出正四棱台的高，然后由棱台体积公式直接计算即可求解.
【详解】按如图所示方式取截正四棱锥，
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学科网（北京）股份有限公司分别为上、下底面正方形的中心， 分别为 的中点，
正四棱锥 的下底边长为二丈，即 尺，
高三丈，即 尺；
截去一段后，得正四棱台 ，且上底边长为 尺，
所以 ，
所以由 可知，有 ，
解得 ，
所以该正四棱台的体积是 （立方尺）．
故答案为：3892.
14. 已知函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
① 的值可能是3； ② 的最小正周期可能是 ；
③ 在区间 上单调递减； ④ 图象的对称轴可能是 .
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①②③
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意，结合角的范围可得 ，求出 的范围可判断①，利用三角函数的周期
公式可判断②，利用三角函数的性质可判断③④.
【详解】函数 ，
， ，
函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，
则 ，
，即 的取值范围是 ，
而 ，故①正确；
周期 ，由 ，
得 ， ，
的最小正周期可能是 ，故②正确；
， ，
， ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司在区间 上单调递减，故③正确；
当 ，即 ，
又 ，
，
当 时， ，
当 时， ，故④不正确.
故答案为：①②③.
四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值，并写出 的对称轴方程；
（2）在 中角 的对边分别是 满足 ，求函数 的取值范
围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数 ，再根据周期求出 的值,利用整体法
即可求解对称轴.
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学科网（北京）股份有限公司（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得 ，故 ，故 ，根
据正弦函数的定义域和值域求出 的取值范围．
【小问1详解】
．
， ．
故
令 ，解得 ，
故对称轴方程为：
【小问2详解】
由 得 ，
．
， ， , ．
， ，
，
16. 在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）若 的面积是 ， ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解；
（2）利用面积公式、余弦定理运算求解.
【小问1详解】
由 ，可得到 ，
即 ．
因为 ，所以 ，故 ．
【小问2详解】
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，则 ．
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，故 的周长是 ．
17. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求点 到平面 的距离；
（2）设点 为线段 的中点，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）2； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质，勾股定理及线面垂直的判定定理可得 平面 ，进而即得；
（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
【小问1详解】
因为 平面 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，由勾股定理得 ，
又 ，
所以 ，故 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 为点 到平面 的距离，
故点 到平面 的距离为2.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司在平面 内过点 作 的平行线 ，则 ，
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
由勾股定理得： ，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，取 ，则 ，
所以 ，
记二面角 的大小为 ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知双曲线 的离心率为 ，右顶点 到 的一条渐近线的距离为 .
（1）求 的方程；
（2） 是 轴上两点，以 为直径的圆 过点 ，若直线 与 的另一个交点为 ，直
线 与 的另一个交点为 ，试判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）
（2）直线 与圆 相交，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意列出关于 的方程，求解即可.
（2）设 ，由点 在圆上，得出 ，由 的坐标，得出直线 方程，
将直线 方程与双曲线 方程联立，得 点坐标，同理可得 点坐标.从而得到直线 方程，通过直线
过定点 ， ，从而得出 点在圆 内，故直线 与圆 相交.
【小问1详解】
因为 的离心率为 ，所以 ，
所以 ，渐近线方程 ，
因为点 到一条渐近线距离为 ，所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
直线 与圆 相交，理由如下：
设 ，则 ，
因为点 在以 为直径的圆 上，所以 ，
所以 ，
即 ，
由（1）得 ，直线 方程为： 与双曲线 方程联立，
消去 得， ，因为直线 与 都有除 以外的公共点，
所以 ，所以 ，即 ，
同理当 ， .
，
所以直线 方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司令 得， ，
即直线 经过定点 .
因为 ，
所以 点在圆 内，故直线 与圆 相交.
19. 设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，都有
，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先可以根据已知得到 ，其次注意到 ，结合等比数列的定义
即可求解.
（2）由（1）可知 ，先将数列 的通项公式裂项得 ，从而可求得其
前 项和为 ，若 ，都有 ，则只需 ，研究 的单调性即可得到
其最小值，从而解不等式即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
一方面：因为 ，所以 ，
所以 ，即 ；
另一方面：又 时，有 ，即 ，且 ，
所以此时 ；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列 是首先为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，
又由题意 ，
数列 的前 项和为
，
又 ，都有 ，故只需 ，
而 关于 单调递增，
所以 关于 单调递减， 关于 单调递增，
所以当 时，有 ，
因此 ，即 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上所述： 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
