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房山区 2022 年高考第一次模拟测试试卷
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在等题卷上作答无效.考试结束后，
将答屋卡交回，试卷自行保存.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的
一项.
1. 已知集合A={－2，－1，0，1，2}， ，则 （ ）
A. {－2，－1，0，1，2} B. {－1，0，1}
C. {－2，2} D. {0，1}
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，－1），则 （ ）
A. 5 B. 3 C. 5－4i D. 3－4i
的
3. 若 ，且 ，则下列不等式一定成立 是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若 的展开式中的常数项为－20，则a=（ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
5. 已知 为抛物线 上一点， 到抛物线的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
6. 数列 是等差数列，若 ， ，则 （ ）
A. B. 9 C. 10 D. 207. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为
，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的
比值为（ ）
A. 2600 B. 2700 C. 2 D. 27
8. 已知函数 ，则“ ”是“ 为奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知直线l被圆C： 所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（
）
A. B.
C. D.
10. 已知U是非实数集，若非空集合A，A 满足以下三个条件，则称（A，A）为集合U的一种真分拆，
1 2 1 2
并规定（A，A）与（A，A）为集合U的同一种真分拆
1 2 2 1
①A∩A=0
1 2
②A A=U
1 2
③ 的元素个数不是 中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 10 D. 15
第二部分（来选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 _________.
12. 已知 、 是单位向量， 且 ，则 · =___________， ____________.13. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=_______；若
g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为______________.
14. 函数 的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若 在区间（0,2）上存在零点，则
”为假命题的一个函数 的解析式可以为 =___________.
的
15. 如图，正方体ABCD－ABC D 棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BBC C的边界
1 1 1 1 1 1
及其内部运动.给出下列四个结论：
①DO⊥AC；
1
②存在一点P，DO∥BP；
1 1
③若DO⊥OP，则△DC P面积的最大值为 ；
1 1 1
④若P到直线DC 的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.
1 1
其中所有正确结论的序号是_________________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求
的
① 与平面 所成角 正弦值；
②直线 与平面 的距离.
17. 在△ABC中， .
（1）求∠B的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
条作① ；
条件② ；
条件③：AB边上的高为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解
答计分.
18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现
了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得
里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月份 合计
月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月空气质量优良天数 24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288
空气质量污染天数 7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77
（1）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（2）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X
的分布列；
（3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为 ，空气
质量污染天数的方差为 ，试判断 ， 的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知函数 .
的
（1）当 时，求曲线 在 处 切线方程；
（2）若 在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.
20. 已知椭圆C的离心率为 ，长轴的两个端点分别为 ， .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线 交于点Q，求
证： .
21. 若无穷数列{ }满足如下两个条件，则称{ }为无界数列：
① （n=1，2，3......）
②对任意的正数 ，都存在正整数N，使得n>N，都有 .
（1）若 ， （n=1，2，3......），判断数列{ }，{ }是否是无界数列；
（2）若 ，是否存在正整数k，使得对于一切 ，都有 成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（3）若数列{ }是单调递增 的无界数列，求证：存在正整数m，使得 .
