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北京市八一学校 2025 年高考模拟测试
数学
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
.
1 设 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则（ ）
.
A B. C. D.
4. 函数 是
A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2
C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为
5. 已知 是数列 的前 项和，则“ ”是“数列 是公差为2的等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设抛物线 的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得 的最小值为4，则下
列选项中，符合题意的点A可为（ ）A. B. C. D.
7. 把函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数
的图象，则（ ）
A. B. 最小正周期为
的
C. 的图象关于直线 对称 D. 在 上单调递减
8. 在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位： ）的相对大小，具体关系式
为 ，其中基准值 .若声强度为 时的声强级为60dB，那么当声强度变为
时的声强级约为（ ）（参考数据： ）
A. 63dB B. 66dB C. 72dB D. 76dB
9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，
将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱 和 是两个完全相同的直三棱柱，侧
棱 与 互相垂直平分， 交于点I， ， ，则点 到平面 的
距离是（ ）A. B. C. D.
10. 在直角坐标系 中，全集 ，集合
，已知集合A的补集 所对应区域的对称中心为M，
点P是线段 （ ， ）上的动点，点Q是x轴上的动点，则 周长的最小值为（
）
A. 24 B. C. 14 D.
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11. 函数 的定义域为______．
.
12 设 ，则 ________；当 时， _________．
13. 若双曲线经过点 ，其渐近线方程为 ，则双曲线的方程是___________.
14. 在等腰梯形 中，设 ， ， ， 为 的中点，则
=_____________（用 和 表示），当 ______时， 最小.
15. 已知直线 和曲线 ，给出下列四个结论：
①存在实数 和 ，使直线 和曲线 没有交点；
②存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 恰有 个交点；
③存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 不会恰有 个交点；
④对任意实数 和 ，直线 和曲线 不会恰有 个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且满.
（1）求 的大小；
（2）再在① ，② ，③ 这三个条件中，选出两个使 唯一确定的条件补充在下
面的问题中，并解答问题.若________，________，求 的面积.
17. 如图，在长方体 中， ，点F是 的中点，点P在 上，
若过FP的平面 交 于E，交 于Q．
（1）求证： 平面PBQ；
（2）若点Q是 的中点，且 ，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足 平面 ，求点H的坐标．
18. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销
售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的
“星级卖场”.（1）当 时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 ，
比较 的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 的分
布列和数学期望；
（3）若 ，记乙型号电视机销售量的方差为 ，根据茎叶图推断 为何值时， 达到最小值．（只需
写出结论）
.
19 已知函数 ， .
（1）当 时，
①求曲线 在 处的切线方程；
②求证： 在 上有唯一极大值点；
（2）若 没有零点，求 的取值范围.
20. 椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为
（1）求椭圆C的方程及短轴长；
（2）已知：过定点 作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF
中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．
21. 已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
