文档内容
十堰市 2026 年高三年级元月调研考试
数学
本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码
贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题
卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，且 ， 为原点，则 （ ）
A. 6 B. C. 4 D.
3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021
—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的
40%分位数是（ ）
A. 4.02 B. 4.00 C. 3.88 D. 3.84
4. 若向量 ， ，记 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，则
（ ）
A. B. 20 C. 16 D.
7. 已知正四面体 各条棱的中点都在球 的表面上，则球 的表面积与该正四面体的表面积之比为
（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合 ，若集合 满足 ，则 可以是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若 ，则（ ）
A. （ ）
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学科网（北京）股份有限公司B.
C. 从 ， ，…， 这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种
D. 从 ， ， ，…， 这8个数中任取3个，这三个数的和等于 ， ， ，…， 中某数的取法
有28种
11. 已知定义域与值域均为 的函数 满足 ， ， ，
且 ，则（ ）
A. B.
C. ， 是奇函数 D. ， 满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， ，用 ， 表示 ______.
13. 已知双曲线 ： （ ， ），记 ， 经过点 ， （
），且 （ 为原点），则 的离心率为______.
14. 若函数 有零点，则实数 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和 .
（1）证明： 是等比数列；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， 分别是等差数列 的第1项与第3项，求 的公差 .
16. 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（ 型与 型）对果实品质的影响.农场
随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：
灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计
型 62 38 100
型 45 55 100
合计 107 93 200
（1）根据小概率值 的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；
（2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（ ）为 ，通过测试得到使用无
土栽培时 的分布列为：
1 1.5 2
0.2 0.5 0.3
使用传统土壤栽培时 的分布列为：
0.8 1.2 1.6
0.4 0.4 0.2
从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互
独立，求抽到的2株番茄总产量大于 的概率.
附： ，其中 .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17. 如图，几何体 为四棱锥 和三棱锥 的组合体.在四棱锥 中，底
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学科网（北京）股份有限公司面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面 平面 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若三棱锥 的体积是四棱锥 的体积的 ，求直线 与平面 所成角的正弦
值.
18. 已知椭圆 ： （ ）的实轴长为 ，点 在 上.
（1）求 的离心率；
（2）若 ， 分别为 的左、右顶点，过点 且斜率不为0的直线与 交于 ， 两点，直线
， 交于点 ，证明：点 在定直线上；
（3）已知 ， ， 均在 上， 为原点， ，其中 ， 均不在 轴上， ，
且 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.
19. 已知函数 （ ）.
的
（1）若 在 上单调递增，求 取值范围；
（2）若 ，证明： ；
（3）试讨论过点 且与曲线 （ ）相切的直线的条数.
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