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班级 姓名 学号 分数
第六章 计数原理（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）若 的展开式中常数项为 ，则正整数 的值为
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】二项式 展开式的通项为 ，
所以 且 ，
显然 且为整数，即 为 的倍数，故排除B、C，
又 为 的因数，所以 或 ，
当 时 ，此时 ，不符合题意；
当 时 ，此时 符合题意.
故选：A
2．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试） 展开式中含 的系数是（ ）
A．28 B． C．84 D．
【答案】C
【解析】 展开式的通项为 ， .
当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 ；当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 ；
当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 .
所以， 展开式中含 的系数是 .
故选：C.
3．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
【答案】D
【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有 方法，
故2个8不相邻的情况有 种.
故选：D
4．（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道
疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区
所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
【答案】A
【解析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组
成员分配到A，B，C三个小区；
当按照3，3，1的方法分配则有 ；
当按照2，2，3的方法分配则有 ；
当按照1，1，5的方法分配则有 ；把三组成员分配到A，B，C三个小区的方法为
所以根据分步计数原理可得一共有： 种不同的安排方式.
故选：A
5．（2023·江苏南通·高三统考期末）已知 的展开式中所有项的系数之和为 ，则展开式中
含 的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 可得展开式中所有项的系数之和为 ，故 ，
又 ，即 展开式的通项为 ，
则展开式中含有 的系数为 ．
故选：C．
6．（2023·高三课时练习）在 （ 为正整数）的展开式中， 的一次项的系数为
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从 中取 ，其它取 相乘，得一次项为 ，
从 中取 ，其它取 相乘，得一次项为 ，
，
从 中取 ，其它取 相乘，得一次项为 ，
所以在 （ 为正整数）的展开式中， 的一次项为 ，
所以 的一次项的系数为 .
故选：B
7．（2023·全国·模拟预测）某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不
同的考试安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
【答案】D
【解析】若三天考试科目数量为 ，则安排方法数为：
.
若三天考试科目数量为 ，则安排方法数为：
，
若三天考试科目数量为 ，则安排方法数为：
，
所以不同的考试安排方案共有 种.
故选：D
8．（2023·山东日照·高二统考期末）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，可得 ，
则 ，
二项式 的展开式通项为 ，
则 且 ．
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，因此，
．
故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·山东东营·高二统考期末）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中
选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（ ）
A．若不选择政治，选法总数为 种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 种
【答案】AC
【解析】对于A, 若不选择政治，选法总数为 种,正确；
对于B，若物理和化学选一门，选法总数为 ，
若物理和化学都选，则选法数有 种，
故物理和化学至少选一门，选法总数为 种，而 ，B错误；
对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有 种选法，
减去物理和历史同时选的选法数 ，故选法总数为 种，C正确；
对于D,当物理和化学中只选物理时，有 种选法；
当物理和化学中只选化学时，有 种选法；
当物理和化学中都选时，有 种选法，
故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，
选法总数为 种，而 ，D错误，
故选：10．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设 ，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A，令 得 ，所以选项A错误；
分别令 和 得 和 ，
所以选项B和选项C正确；
对于选项 D，
，选项D正确；
故：BCD．
11．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）在二项式 展开式中，下列说法正确的是（
）
A．第三项的二项式系数为20 B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有4项 D．常数项为第五项
【答案】BCD
【解析】二项式 展开式通项公式为 ,
对于 :第三项的二项式系数为 ,故 错误;对于 :所有项的二项式系数之和为 ,故 正确;
对于 :展开式中当 时,共有4项有理项,故 正确;
对于 :当展开式通项为常数项时, ,令 ,
则 ,则常数项为第五项,故 正确.
故选:
12．（2023·全国·高三专题练习）甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方
形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的
单位，如果掷出的点数为i（ ，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某
人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若 时，则共有3种不同走法 B．若 时，则共有5种不同走法
C．若 时，则共有25种不同走法 D．若 时，则共有27种不同走法
【答案】BD
【解析】由题意知正方形 （边长为2个单位）的周长是 ．
当 时，骰子的点数之和是 ，列举出在点数中两个数字能够使得和为 的有 ， ， 共
种组合，抛掷骰子是有序的，所以共 种结果，故A错误，B正确；
若 时，三次骰子的点数之和是 ， ，列举出在点数中三个数字能够使得和为 ， 的有 ，
， ， ， ， ， 共有 种组合，
前 种组合 ， ，每种情况可以排列出 种结果，共有 种结果，
其中 ， ， ， ， 各有 种结果，共有 种结果，根据分类计数原
理知共有 种结果．故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）若展开式 中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式
中常数项为__________.
【答案】7
【解析】由题意 ，所以展开式第 项为 ，
令 ，得 ，故常数项为 .
故答案为：7.
14．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位
数，则这些三位数的和为___________．
【答案】3864
【解析】分三种情况：
（1）在所有不含0的三位数中，百位上的所有数字之和为 ，十位上的所有数字之和为
，百个位上的所有数字之和为 ，
所以所有不含0的三位数的和为 ；
（2）在含0且0在十位上的三位数中，百位上的所有数字之和为 ，
个位上的所有数字之和为 ，
所以含0且0在十位上的三位数的和为 ；
（3）在含0且0在个位上的三位数中，百位上的所有数字之和为 ，
十位上的所有数字之和为 ，
所以含0且0在个位上的三位数的和为 ；
那么可得符合条件的这些三位数之和为 ．故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至
少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）
【答案】
【解析】把5人分成三组，有“3，1，1”和“2，2，1”两种情况，
所以不同的分派种数有 .
故答案为： .
16．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）我们知道： ，相当于从两个不
同的角度考察组合数：①从 个不同的元素中选出 个元素并成一组的选法种数是 ；②对 个元素中的
某个元素 ，若 必选，有 种选法，若 不选，有 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，
试根据上述思想化简下列式子： __________ .
【答案】
【解析】根据题意，从 个不同元素中选出 个元素并成一组的选法种数是 ，
若对其中的某 个元素分别选或不选，
则 个元素一个都没有选，有 种选法；
有一个元素被选取，有 种选法；
有两个元素被选取，有 种选法；
有三个元素被选取，有 种选法；
有 个元素被选取，有 种选法；所以 ， ，
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）已知 ，且
．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 （舍）或 ，
∴ .
（2）由第（1）问， ，
∴ ①，
令①式中 ，则 ，
∴ ，
令①式中 ，则 ，即 ，
∴ .（3）令第（2）问①式中 ，则 ，
∴ ②，
由第（2）问， ③，
②，③两式相加，得
，
∴ .
18．（12分）
（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）（1）解不等式 ；
（2）若 ，求正整数n；
（3）从正方体 的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到多少个不同的四面体？
【解析】（1）因为 ，得 ，且 ，
所以 或 或 或 或 或 或 ，
由排列数公式得 ，得 ，
当 或 或 或 或 或 时，不满足 ；
当 时，满足 .
综上所述： .
所以不等式 的解集为 .
（2）因为
，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 且 ，所以 且 ，
当 时， ，满足方程；
当 且 时， ，不满足方程；
当 ，且 时， ，不满足方程.
所以 有唯一解 .
所以 的解为 .
（3）从8个顶点中任取4个有 种方法，从中去掉6个表面和6个对角面，
所以共有 .
19．（12分）
（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，
并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式 ，若______，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项；
(3)展开式中所有项的系数之和．
【解析】（1）选①，由 ，得 （负值舍去）．
选②，令 ，可得展开式中所有项的系数之和为0．
由 得 ．选③，设第 项为常数项， ，由 ，得 ．
由 得展开式的二项式系数最大为 ，
则展开式中二项式系数最大的项为 ．
（2）设第 项为有理项， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
则有理项为 ， ， ， ．
（3）在 中，令 ，即 ，
所以展开式中所有项的系数之和为 .
20．（12分）
（2023·高二课时练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
【解析】（1）元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有 种排法，其余6人全排列，
有 种排法，由乘法原理得共有 （种）排法；
（2）位置分析法．先排最左边，除去甲外有 种排法，余下的6个位置全排有 种排法，但应剔除乙在最右边的排法 种，则符合条件的排法共有 （种）；
（3）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有 （种）排
法；
（4）插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有 （种）排法；
（5）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有 （种）排法；
（6）定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；
第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得 ，所以 （种）；
（7）与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有 （种）排法；
（8）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有 种排法，甲、乙互换位置，有 种排法，甲、
乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有 种排法，所以共有
（种）排法．
21．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目 和 ；2个相声节目1和2.要求排出
一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列.
（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？
（结果用数字表示）
（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名
女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
【解析】（1）歌唱节目记为 ，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排
列为： .（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺
序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，
故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有 （种）.
（3）选2名男教师与2名女教师，共有 (种)，选3名男教师与1名女教师，共有 (种)，
所以共有60+20=80（种）.
22．（12分）
（2023·高二课时练习）有n个人，每个人都以同样的概率被分配到N个房间 中的任意一间去，分
别求下列事件的概率．
(1)指定的n间房中各有一人；
(2)恰有n间房，其中各有一人；
(3)指定的某间房中恰有 人．
【解析】（1）由题意
每个人都以同样的概率被分配到N个房间 中的任意一间去，有 种方法，
指定的n间房中各有一人，恰有 种方法，
∴指定的n间房中各有一人的概率为：
（2）由题意及（1）得
每个人都以同样的概率被分配到N个房间 中的任意一间去，有 种方法，
恰有n间房，共有 种选法，其中各有一人，有 种方法，
∴恰有n间房，其中各有一人的概率为：
（3）由题意及（1）（2）得
每个人都以同样的概率被分配到N个房间 中的任意一间去，有 种方法，
指定的某间房中恰有 人，则其他房间有 人从总人数中抽取 人，有 种选法，剩下的 人选择剩下的 房间有 种方法，
∴指定的某间房中恰有 人的概率为
