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班级 姓名 学号 分数
第六章 计数原理（A 卷·知识通关练）
核心知识1：分类加法与分类乘法计数原理的综合
1．（2023·辽宁营口·高二统考期末）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个
地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A．120 B．180 C．405 D．781
【答案】C
【解析】由题意，先选一名学生分配到 地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，方法数为
，
故选：C．
2．（2023·河南南阳·高二统考期末）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采
样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（ ）
A．120种 B．216种 C．240种 D．432种
【答案】B
【解析】依题意，
情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组，
则有 种方案；
情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组，
则有 种方案；
情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，
则有 种方案；
所以总共的方案为： 种.
故选：B.
3．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，
每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
【答案】C【解析】若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有 种选法，9日、10日有
种安排方法，共有 （种）安排方法；
若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有 种安排方法，共有12种安排方法；
若甲、乙都在10日值班，则共有 （种）安排方法．
所以总共有 （种）安排方法．
故选：C
4．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考开学考试）党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为
学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，
每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
【答案】B
【解析】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，1，2，
先选出2人为1组有 种，再将4组人员分配到4个社区有 ，
所以不同的分配方案共有 .
故选：B.
5．（2023·北京怀柔·高二统考期末）从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2
人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用分步计数原理.
第一步，从7个人中选2人的负责值班第一天，不同安排方式的种数 ；
第二步，剩余5人选取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的种数 .
所以，不同安排方式的种数可表示为 .
故选：D.6．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6
名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中 ， 两人不能分在同一个社团，则
不同的安排方案数是（ ）
A．56 B．28 C．24 D．12
【答案】B
【解析】设两个社团为甲社团和乙社团，
当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2 人有 种方案，甲社团有3 人有 种方案，甲社团有4人有
种方案，共 种方案；
当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；
所以不同的安排方案数是14+14=28.
故选：B
核心知识2：排列与组合的计算
7．（2023·高三课时练习）已知 ，则 _________.
【答案】2或3
【解析】 ，
，又 ，
所以 或 .
故答案为：2或3.
8．（2023·高二课时练习）计算： ______．
【答案】
【解析】 ，
则 .故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______．
【答案】6
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 （ 舍去）．
故答案为：6.
10．（2023·高三课时练习）不等式 的解集为________．
【答案】
【解析】由 ，得
，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得
，解得 ，
因为 ，且 ，
所以得 ，
所以 ，
所以不等式的解集为 ，故答案为：
11．（2023·全国·高三对口高考）计算 的值为_________.
【答案】466
【解析】依题意， ，解得 ，而 ，于是得 ，
所以，原式 .
故答案为：466
12．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）若 ，则 的值为__________.
【答案】20
【解析】 ，
，即 ，
，
，
故答案为：20.
13．（2023·高二课时练习）设 ，则 ______．
【答案】4或7或11
【解析】由组合数的意义可知： ，解得： .
又 ，所以 或 或 .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
故答案为：4或7或11.14．（2023·高二课时练习）若 ，则 的值为______．
【答案】190
【解析】因为 即 ，化简得 ，
因为 为大于等于10的整数，所以 ，
所以
故答案为：190
15．（2023·高二课时练习）关于n的不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】不等式 ，即不等式 ，
解得 ，
又因 且 为正整数，
所以关于 的不等式 的解集为 .
故答案为：
核心知识3：相邻问题与不相邻问题
16．（2023·山东滨州·高三统考期末）由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的
六位数个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．24
【答案】B
【解析】解:由题得3个2,1个0,2个3中,
除去2023四个数,
还剩一个2,一个3,
将2023进行捆绑,
对2,2023,3进行全排有 种.
故选:B17．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排
法（ ）种
A．120 B．24 C．48 D．96
【答案】C
【解析】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得 种排法，
两名女生排序有 种排法，
所以共有 种排法.
故选：C.
18．（2023·重庆·高三统考学业考试）某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与
队员C相邻，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】D
【解析】因为队员A和B不相邻且均与队员C相邻，
所以队员C站在队员A和B的中间，故将队员 看作个整体，其内部共有 种排法，
而这个整体与其他3名队员进行排列，则有 种排法，
所以不同的排法共有 种.
故选：D.
19．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在
开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家
人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
【答案】B
【解析】依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有 种坐法，
此时周明家其余 人有 种坐法，同理李亮家其余 人有 种坐法，
所以他们不同的坐法有 种.故选：B
20．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
【答案】D
【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有 方法，
故2个8不相邻的情况有 种.
故选：D
21．（2023·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的范围是：
，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数
学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5
进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（ ）
A．24个 B．36个 C．72个 D．60个
【答案】B
【解析】分两步：
第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有 种方法；
第二步：将两个1选两个空插进去有 ，
由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有 种，
故选：
22．（2023·全国·高三专题练习）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间
段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广
告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（ ）
A．60种 B．120种 C．144种 D．300种
【答案】B
【解析】第一步，要在该时间段只保留其中的2个商业广告，即先从5个中选择2个，有 种，第二
步，增播一个商业广告，共3个广告，排好有 种，
第三步，在2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，有 种方法，根据乘法原理，共有10×6×2＝120种方法．
故选：B．
核心知识4：数字排列问题
23．（2023·全国·高三专题练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字
之和为奇数的共有（ ）
A．600个 B．540个 C．480个 D．420个
【答案】A
【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是 个奇数 个偶数，或 个偶数 个奇数，
若为 个奇数 个偶数，则偶数一定排在个位，从 个偶数中选一个排在个位有 种，
再在 个奇数中选出 个排在其余三个数位，有 种排法，故有 个数字；
若为 个偶数 个奇数，则奇数不排在个位，从 个奇数中选一个排在前三位有 种，
再在 个偶数中选出 个排在其余三个数位，有 种排法，故有 个数字；
综上可得一共有 个数字；
故选：A
24．（2023·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【解析】当个位数为0时，有 个，
当个位数为2或4时，有 个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
25．（2023春·广东清远·高二统考期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可
顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一
副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读
与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25 B．20 C．30 D．36
【答案】A
【解析】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，
由1个数字组成的4位回文数有5个，
由2个数字组成的4位回文数有 个，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.
故选：A
26．（2023春·上海徐汇·高二期末）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个
数字的奇偶性都不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】B
【解析】依题意分三步完成，
第一步：先将3、5排列，共有 种排法；
第二步：再将4、6插空排列，共有 种排法；
第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有 种排法．
由分步乘法计数原理得共有 （种 ．
故选：B
27．（2023春·山西·高二统考阶段练习）在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，
各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个 B．48个 C．54个 D．60个
【答案】D
【解析】①这三个数字为三个奇数，共 （个）；
②这三个数字为两个偶数，一个奇数，共 （个）.
故各数位之和为奇数的共有 （个）.
故选：D.28．（2023春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）用 这五个数字能组成无重复数字且 与 不相
邻的五位数的个数有（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【解析】根据题意：当 在万位时，千位不能排 ，所以千位有： 种，再排列剩下的数字有： ，所以
当 在万位时，共有： 种；
当 在万位时，先排 和 ，有： 种，会出现三个空，再将数字 和 插入三个空，有 种，所以当
在万位时，共有： 种；
当 在万位时，千位不能排 ，所以千位有： 种，再排列剩下的数字有： ，所以当 在万位时，共有：
种；
当 在万位时，先排 和 ，有： 种，会出现三个空，再将数字 和 插入三个空，有 种，所以当
在万位时，共有： 种；
综上所述：满足条件的方法共有： .
故选：C.
核心知识5：涂色与几何问题
29．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种
不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的
信号总数为（ ）．A．96 B．84 C．60 D．48
【答案】B
【解析】按照使用了多少种颜色分三类计数：
第一类：使用 种颜色，有 种；
第二类：使用 种颜色，必有 块区域同色，有 种；
第三类：使用 种颜色，必然是 与 同色，且 与 同色，有 种，
所以不同的信号总数为 种.
故选：B
30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计
为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选
择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时： 和 相同， 和 相同，共有 种种植方法；
当种植鲜花为三种时： 和 相同或 和 相同，此时共有 种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有 种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为 种，故选： .
31．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色
彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？
A．260 B．180 C．240 D．120
【答案】A
【解析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有 种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有 种．
在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有 种选法；3种颜色涂上去
有 种涂法，
根据分步计数原理求得共 种涂法．
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有 种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有 种涂法，故
共 种涂法．
∴共有涂色方法120+120+20＝260种，
故选：A．
32．（2023·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年
由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家
着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色
问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（
）
A．36种 B．72种 C．48种 D．24种
【答案】B【解析】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种
选择．
①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；
②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．
综上，不同的涂法种数为 ．
故选：B．
33．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，已知 三边所在直线的方程分别为
，则 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
【答案】B
【解析】由题设，直线 分别交x、y轴于 、 ，
以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线 上的整数点有 、 、、 、 、 ，共6个，
所以，矩形对角线 两侧的三角形中整点的个数为 个，
综上，△ 中整点的个数为 个.
故选：B
34．（2023·全国·高三专题练习）已知 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名
足球烯， 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五
边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.
A．10 B．12
C．16 D．20
【答案】B
【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，
所以五边形面数为 个，
故选B.
核心知识6：分堆与分组问题
35．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4
个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，
则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．
【答案】240
【解析】依题意，有一个小组必去两个社区，把5个社区分成4组有 种分法，
将分成的4组安排给4个宣传小组有 种方法，
所以不同的安排方法共有 （种）.故答案为：240
36．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随
机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有___________种
【答案】9
【解析】选出的人员中恰好有一名女生的选法有 种，选出的人员中恰好有两名女生的选法有
种，所以选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有 种．
故答案为：9
37．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一
本，则不同的分配方法___________.
【答案】
【解析】若有一人3本，三人1本，有 种分配方法；
若有两人2本，两人1本，有 种分配方法；
则共有 种分配方法.
故答案为：
38．（2023·上海静安·统考一模）2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩
金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将
5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则
不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）
【答案】240
【解析】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有 种情况，所以不同的分配方法有 .
故答案为：240.
39．（2023·全国·高三专题练习）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去
一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．
【答案】60
【解析】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是 种；当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是 种；
则甲同学被安排到A基地的排法总数为 种.
故答案为：60.
40．（2023·全国·高三专题练习）有编号分别为1，2，3，4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，
恰有一个空盒，有________种放法.
【答案】144
【解析】先分组再分配.第一步：将四个小球分为三组，每组个数分别为2、1、1，有 种情况；
第二步，将分好的三组小球放到三个盒子中，有 种情况.
所以，共有 种放法.
故答案为：144.
41．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）编号为 的5个小球，放入编号为
的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有___________种.
（填写数字）
【答案】50
【解析】若1号盒子只放一个球，则2号盒和3号盒共放4个球，有 种；
若1号盒子放两个球，则有 种；
若1号盒子放三个球，则有 种；
所以共有 种.
故答案为：50.
42．（2023·全国·高三专题练习）将编号为 ， ， ， 的 个小球放入 个不同的盒子中，每个盒子不空，
若放在同一盒子里的 个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．
【答案】18
【解析】先把4个小球分为 一组，其中2个不连号小球的种类有 ， ， 为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，故共有 种不同的放法；
故答案为：18．
43．（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本
市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
【答案】10
【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就
是一种名额分配方法，共有 种分配方法.
故答案为： .
核心知识7：隔板法
44．（2023·全国·高三专题练习）六元一次方程 的正整数解有________组．
【答案】126
【解析】 的正整数解的组数为 ，
故答案为： .
45．（2023春·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于 的三元一次方程 ，且 ，
则该方程有__________组正整数解.
【答案】
【解析】方程 ，且 的正整数解的组数等价于
将 个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数
则所求的正整数解的组数有
故答案为： ．
46．（2023·全国·高三专题练习）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学
校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）
【答案】10
【解析】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有 种方法，故答案为：10
47．（2023·全国·高二专题练习）已知 ，满足方程 ，则这个方程解的组数为
________．（用数字作答）
【答案】286
【解析】当解中没有0时，相当于10个球分成4堆，则10个球中间有9个空，分成4堆也就是在其中插上
3个板，有 种，
当有1个解为0时，相当于10个球分成三堆，但先要选出谁为0，所以共有 种，
当有2个解为0时，相当于10个球分成两堆，所以共有 ，
当有3个解为0时，相当于10个球分成一堆，所以有 ，
所以共有 ，
这个方程解的组数为286组，
故答案为：286
48．（2023·全国·高三专题练习）关于 ， ， 的方程 （其中 ， ， ）的解共有
_____组．
【答案】15
【解析】将7分解成为7个1，现在将7个1分为三组，每一组都有1，则分组方式为 ，
即关于 ， ， 的方程 （其中 ， ， ）的解共有15组.
故答案为：15.
核心知识8：二项式定理
49．（2023·河北唐山·高三统考期末） 的展开式共有七项，且常数项为20，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B【解析】因为 的展开式共有七项，故 ，
且展开式通项公式为 ，
令 ，解得： ，故 ，解得： .
故选：B
50．（2023·北京通州·高三统考期末）设 为正整数， 的展开式中存在常数项，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】 的展开式的通项 ，
令 得 ，因为 ，所以当 时， 有最小值3，
故选：B
51．（2023·北京丰台·高三统考期末）在 的展开式中，常数项为（ ）
A． B．24 C． D．48
【答案】B
【解析】二项式 展开式的通项为 ，令 ，解得 ，所以展开式的常数
项为
故选：B
52．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末） 的展开式中，共有多少项？
（ ）
A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A
【解析】当 展开式的项只含有1个字母时，有3项，
当 展开式的项只含有2个字母时，有 项,
当 展开式的项含有3个字母时，有 项,
所以 的展开式共有45项；
故选：A.
53．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A．3n B．2·3n
C． －1 D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
54．（2023·全国·高三专题练习）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．-60 B．60 C．-240 D．240
【答案】D
【解析】由题知，展开式中第 项 ，
令 ，得 ，所以展开式中常数项为 .
故选：D55．（2023·全国·高三专题练习）若 是一组数据 的方差，则 的展开式的常数项为
（ ）
A． B．3360 C．210 D．16
【答案】B
【解析】数据0，2，0，2的平均值为1，故方差 ，
故二项式为 ，其展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
故常数项为 .
故选：B.
56．（2023·全国·高二专题练习）设 ，则
（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
【答案】A
【解析】 的展开式的通项为 ， ，
所以 .
故选：A.
57．（2023·全国·高三专题练习）已知 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，若展开
式中所有项的系数和为 ，则不正确的命题是（ ）
A． B．
C．展开式中常数项为 D．展开式中含 的项为【答案】C
【解析】由题意，展开式中只有第 项的二项式系数最大，所以可知展开式中共有 项，即 ，故A正
确；
若展开式中所有项的系数和为 ，令 ，则 ，所以得 ，故B正确；
由通项公式得 ，令 ，解得 ，所以展开式中的常
数项为 ，故C错误；
令 ，解得 ，所以展开式中含 的项为 ，故D正确.
故选：C
58．（2023·吉林长春·高二长春市第二中学校考期末） 的二项展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】二项式的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得： ，
二项式的展开式中的常数项为 .
故选：A．
59．（2023·全国·高二专题练习） 的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】D
【解析】由题意得 的展开式的通项为 ，
令 ，则 ，所以 的展开式的常数项为 .
故选：D.
核心知识9：二项式系数
60．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习） 的展开式中x2y4的系数为（ ）
A．192 B．240 C．432 D．256
【答案】C
【解析】原式即 ，化简得 ，展开式中 项为
，系数为432.
故选：C．
61．（2023·全国·高三专题练习）已知 的二项展开式中，第三项与第 项的二项式系数和为84，
则第四项的系数为（ ）
A．280 B．448 C．692 D．960
【答案】B
【解析】由题， ，
因为第三项与第 项的二项式系数和为84，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以第四项的系数为 ，
故选：B
62．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数是（ ）
A．45 B．84 C．120 D．210【答案】C
【解析】 的展开式中，
含 项的系数为 ，
故选：C．
63．（2023·浙江宁波·高三期末）若二项式 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此
展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以二项式系数最大项为 .
故选：B.
64．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知 的展开式中只有第5项是二项式系
数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则
∴展开式的通项为
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则 为奇数且 ，即 ，解得
∴系数的最小值为
故选：C.65．（2023·全国·高三专题练习）若二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，则展开式中二项式
系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 可得 ，
所以 ，展开式有 项，
所以二项式 展开式中二项式系数最大的为第 项，
，
故选：A.
66．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）设
，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
由等式左右两边 系数相等可得 ，所以 ，
故选：C.
67．（2023·江西赣州·高三统考期末）若 展开式的各项系数和为729， 展开式中
的系数为（ ）
A． B． C．30 D．90
【答案】D
【解析】令 ，可得 ，解得 ，所以 展开式中 的系数为
.
故选：D.
68．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设 ，
下列说法：
① ，② ，③ ，④展开式中所有项的二项式系数和为1.
其中正确的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】 ，①对.
，
所以 ，②错.
令 得 ，③对.
展开式中所有项的二项式系数和为 ，④错.
所以正确的说法有 个.
故选：C
69．（2023·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中，下列结论：①第5项的系数最大；
②所有项的系数和为 ；
③所有奇数项的二项式系数和为 ；
④所有偶数项的二项式系数和为 ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】第9项的系数为 ，第5项的系数为 ， ，故①错误；
令 ，得所有项的系数和为 ，故②正确；
所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和且为二项式系数和的一半，故为 ，故
④正确，③错误；
故选：B
70．（2023·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期末）在 的展开式中，二项式系数的和是16，
则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16 B．32 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为二项式系数的和是16，所以 ，解得 ，
所以，令 得展开式中各项系数的和为 ．
故选：A
71．（2023·全国·高二专题练习）已知 ，则 等于
（ ）
A．15 B．16 C．7 D．8
【答案】A
【解析】逆用二项式定理得 ，即 ，所以n=4，所以 ．
故选：A.
核心知识10：项的系数
72．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测） 的展开式中x的系数为______．
【答案】-3
【解析】 ，
的展开式通项公式为 ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
故 ，所以 的展开式中x的系数为-3.
故答案为：-3
73．（2023·山东东营·高二统考期末）已知 ，则
______．
【答案】10
【解析】 ，其二项展开式的通项为 ，
是展开式 的系数，令 ，可得 .
故答案为:10.
74．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考期末） 的展开式中所有有理项的系数之和为__________.
【答案】
【解析】由二项式定理，可得 的展开式通项为 ，当
，即 时， 为有理项，所以所有有理项的系数之和为.
故答案为： .
75．（2023·全国·高二专题练习） 的展开式中有理项共有______项．
【答案】2
【解析】 的展开式的通项为
，
要求有理项，只需使 ，
所以 或 ．
所以 的展开式中有理项共有2项．
故答案为：2
76．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若 展开式中 的系数为30，则 ________.
【答案】
【解析】 展开式通式为
则 ，
，解得
故答案为： .
77．（2023·全国·模拟预测）若 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含 的项的系数为
______.
【答案】
【解析】令 ，则 的展开式各项系数之和为 ，则 ,其中通项 ，
令 ，则 ，
则 ，
故含 的项的系数为 .
故答案为： .
78．（2023·辽宁·校联考模拟预测） 的展开式中除常数项外的各项系数和为______．
【答案】－5231
【解析】 展开式的通项公式为 ．
令 ，得 ，则展开式的常数项是 ．
令 ，得展开式中各项系数和为 ，
所以展开式中除常数项外的各项系数和为 ．
故答案为：－5231
79．（2023·全国·高二专题练习）若二项式 的展开式的第5项是常数项，那么这个展开式中第
______项系数最大．
【答案】9
【解析】由题可得项展开式的通项公式为 ，由 为常数项，
得 ，即n=16．
由题知二项式系数与对应项的系数的绝对值相等，二项式系数最大的项为 ，
所以第9项系数最大．
故答案为：9.
80．（2023·全国·高二专题练习） 的展开式中，二项式系数最大项的是______项，其系数是______（用数字作答）；系数最大的项是_____.
【答案】 4
【解析】由题意，二项式 展开式共有7项，
根据二项式系数的性质，可得第4项的二项式系数最大值，
所以二项式系数最大项的是 ，且系数为 ；
又由展开式的通项为 ，
要使的展开式的系数最大，则 必为偶数，
当 时，可得展开式的系数为 ；
当 时，可得展开式的系数为 ；
当 时，可得展开式的系数为 ；
当 时，可得展开式的系数为 ，
所以展开式的最大项为
故答案为：
81．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知 ，则
________．
【答案】243
【解析】令 ，得 ，①
令 ，得 ，②
② ①，得 ，即 ．① ②，得 ，即 ．
所以 ．
故答案为： .
82．（2023·甘肃兰州·校考一模）若 ，则 的值为______．
【答案】8
【解析】令 ，则 ；
令 ，则 ，
两式相加除以2可得 ．
故答案为：8
83．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）在 的展开式中， 的系数为__________.
【答案】
【解析】依题意， 的展开式中，
含 的项为 ，
所以 的系数为 .
故答案为： .
84．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习） 的展开式中含 的系数是
_______.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为，
则含 的系数为 .
故答案为：
85．（2023·广西南宁·高三南宁二中校考期末）在 展开式中，含 的项的系数是
___________.
【答案】720
【解析】根据乘法分配律可知，含 的项的系数是：
.
故答案为：
86．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数为___________．
【答案】35
【解析】 展开式中含有 的项为：
① ，
② ，
的展开式中 的系数为 ，
故答案为：35.
87．（2023·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末） 的展开式中 的系数是__________.
【答案】14【解析】 的展开式的通项为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 的系数是 .
故答案为：14.
88．（2023·全国·高三专题练习）若 的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中
的系数是___________.
【答案】9
【解析】 中令 得： ，解得： ，
的展开式的通项公式为 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，不合要求，舍去，
故 展开式中 的系数为 .
故答案为：9.
核心知识11：二项式的应用
89．（2023·高二课时练习）将 精确到0.01的近似值是______．
【答案】0.96
【解析】因为 ，且将 精确到0.01，故近似值为0.96
故答案为：0.96
90．（2023·全国·高三专题练习） 的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
【答案】1.34
【解析】
故答案为：
91．（2023·全国·高二专题练习）若 能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．
【答案】③④
【解析】解析：∵
，
又52能被13整除，∴需使 能被13整除，即 能被13整除，
∴ ， ，结合选项可知③④满足．
故答案为：③④．
92．（2023·全国·高二专题练习）（1）用二项式定理证明 能被14整除；
（2） 除以100的余数．
【解析】（1）
．
因为上式是14的倍数，能被14整除，
所以 能被14整除．（2）方法一： ，
前面各项均能被100整除，只有末项 不能被100整除，于是问题转化为求 除以100的余数．
因为
，
所以 除以100的余数为81．
方法二：由 ，
得前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，因为 ，所以
除以100的余数为81．
93．（2023·全国·高二专题练习）求证：当n为偶数时， ．
【解析】证明：当n为偶数时
①
②
①+②得
.
94．（2023·全国·高二专题练习）求证： ．
【解析】由二项式定理： ，
令 得：
，化简得： .
