文档内容
十堰市 2026 年高三年级元月调研考试
数学
本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码
贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题
卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求解即得.
【详解】由 ，得 .
故选：C
2. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，且 ， 为原点，则 （ ）
A. 6 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
第1页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据抛物线定义可得 ，代入方程可得 ，即可得结果.
【详解】由题意可知：抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
因为 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021
—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的
40%分位数是（ ）
A. 4.02 B. 4.00 C. 3.88 D. 3.84
【答案】A
【解析】
【分析】将给定的5个数据由小到大排列，利用第40%分位数的定义求解即得.
【详解】5个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71，
由 ，得这5个数据的40%分位数是 .
故选：A
4. 若向量 ， ，记 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得 ，再由二倍角余弦公式求值.
【详解】由题设 ，
所以 ，
第2页/共23页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：A
5. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
分析】整理可得 ，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【
【详解】因为正数 ， 满足 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
故选：D.
6. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，则
（ ）
A. B. 20 C. 16 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
第3页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ，所以 .
由正弦定理可知， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 .
由余弦定理知， ，所以 ，即 .
又 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
7. 已知正四面体 各条棱的中点都在球 的表面上，则球 的表面积与该正四面体的表面积之比为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令正四面体 的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心 的位置，再
利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比.
【详解】取正四面体 各棱中点 ，如图，
第4页/共23页
学科网（北京）股份有限公司可得平面 平面 ，且 ，作 平面 于点 ，交平面 于 ，
则 为 中点，且球心 是 的中点，即 ，令正四面体 的棱长为6，
， ， ，
而 ，因此球 的半径 ，
所以球 的表面积与该正四面体的表面积之比为 .
故选：C
8. 若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，得 ，将函数 有极值问题转化为函数 有极值问题，再求出
导数，并按 分类探讨导函数有无变号零点问题求解.
第5页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【详解】令 ，则 ，原函数化为 ，依题意，函数 有极值，
求导得 ，
令 ， ，求导得 ，
而 ，令 ，得 ，
当 时， ，则 ，得函数 在 上单调递减，
又 时， ； 时， ，
因此存在 ，使得 ，即函数 ，亦即函数 存在极值；
当 时， ，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上递减，在 上递增，则 ，
设 ，求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，且 时， ，
则 时， ，此时函数 ，即 无极值；
当 时， ，且 时， ； 时， ，
此时函数 ，即 存在极值，
所以 的取值范围为 .
故选：A
第6页/共23页
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合 ，若集合 满足 ，则 可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若 ，
满足 ，符合题意，故A正确；
对于选项B：若 ，
则 ，不符合题意，故B错误；
对于选项C：若 ，
满足 ，符合题意，故C正确；
对于选项D：因为 ，
则 ，不符合题意，故D错误；
故选：AC.
10. 若 ，则（ ）
A. （ ）
B.
第7页/共23页
学科网（北京）股份有限公司C. 从 ， ，…， 这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种
D. 从 ， ， ，…， 这8个数中任取3个，这三个数的和等于 ， ， ，…， 中某数的取法
有28种
【答案】ACD
【解析】
【分析】分析可知 ， ，进而列举 .对于A：可知 的最大值为 ，
即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于
D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可.
【详解】因为 的展开式的通项为 ， ，
则 ， ，
可得 依次为 .
对于选项A：因为 的最大值为 ，所以 ， ，故A正确；
对于选项B： ，故B错误；
对于选项C：若两个数的积为正数，则从 任取两项或从 任取两项，
所以不同的取法共有 种，故C正确；
对于选项D：因为 ，共有4组，
若从 选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有 种；
检验可知 ，不同的取法共有
种；
综上所述：不同的取法共有 种，故D正确；
故选：ACD.
第8页/共23页
学科网（北京）股份有限公司11. 已知定义域与值域均为 的函数 满足 ， ， ，
且 ，则（ ）
A. B.
C. ， 是奇函数 D. ， 满足
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，得到 ，由于 的定义域与值域均为 ，令
，得 ，则 解析式为 ，逐个选项判断即可.
【详解】令 ，则 ，
由于 的定义域与值域均为 ，则令 ，
有 ，即 ；
，A正确；
， ，B错误；
， 是奇函数，C正确；
， ，满足 ，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
第9页/共23页
学科网（北京）股份有限公司12. 已知 ， ，用 ， 表示 ______.
【答案】
【解析】
【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解.
【详解】由 ，得 ，则 ；
由 ，得 ，则 ，
因此 ，所以 .
故答案为：
13. 已知双曲线 ： （ ， ），记 ， 经过点 ， （
），且 （ 为原点），则 的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得 ，将 代入双曲线方程即可求出离心率.
【详解】依题意， 是双曲线 ： 的半焦距，令右焦点为 ，
由 经过点 ， （ ），得点 关于 轴对称，即 ，
则 ，于是 ，而 ，则 ，
第10页/共23页
学科网（北京）股份有限公司由点 在双曲线 上，得 ，即 ，整理得 ，
因此 ，即 ，则 ，而 ，
所以 的离心率 .
故答案为：
14. 若函数 有零点，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】换元令 ，可得 在 内有零点，分 、
和 三种情况，结合绝对值的性质分析求解即可.
【详解】令 ，可得 在 内有零点，
（i）若 ，则 ，
第11页/共23页
学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ，不合题意；
（ⅱ）若 ，则 ，
令 ，解得 ，不合题意；
（ⅲ）若 ，根据绝对值的性质可得 ，
又因为 ，则 ，
因为 在 内有零点，则 ，
①当 时，则 ，解得 ；
②当 时，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和 .
（1）证明： 是等比数列；
（2）若 ， 分别是等差数列 的第1项与第3项，求 的公差 .
【答案】（1）证明见解析；
第12页/共23页
学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用 ，结合等比数列定义推理得证.
（2）由（1）的结论求出 ，进而求出 并求出公差.
【小问1详解】
数列 的前 项和 ，当 时， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得 ，则 ， ，
所以等差数列 的公差 .
16. 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（ 型与 型）对果实品质的影响.农场
随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：
灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计
型 62 38 100
型 45 55 100
合计 107 93 200
（1）根据小概率值 的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；
（2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（ ）为 ，通过测试得到使用无
第13页/共23页
学科网（北京）股份有限公司土栽培时 的分布列为：
1 1.5 2
0.2 0.5 0.3
使用传统土壤栽培时 的分布列为：
0.8 1.2 1.6
0.4 0.4 0.2
从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互
独立，求抽到的2株番茄总产量大于 的概率.
附： ，其中 .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）有关联；
（2）0.28.
【解析】
【分析】（1）利用给定列联表中数据求出 的观测值，再与临界值比对即可得解.
（2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【小问1详解】
零假设为 番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联，
根据列联表中的数据，经计算得到 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【小问2详解】
第14页/共23页
学科网（北京）股份有限公司的
令使用无土栽培 单株番茄产量为 ，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为 ，
抽到的2株番茄总产量为 ，则 ，
则
，
所以抽到的2株番茄总产量大于 的概率为0.28.
17. 如图，几何体 为四棱锥 和三棱锥 的组合体.在四棱锥 中，底
面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面 平面 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若三棱锥 的体积是四棱锥 的体积的 ，求直线 与平面 所成角的正弦
值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理可证
平面 ， 平面 ，即可得结果；
（2）可证 平面 ，根据体积关系可得 ，建系并标点，求平面 的法向量，利用空
间向量求线面夹角.
【小问1详解】
第15页/共23页
学科网（北京）股份有限公司取 的中点为 ，连接 ，
因为 ， ，则 ， ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为底面 是正方形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，所以 .
【小问2详解】
因为 是正三角形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
由题意可知： ， ，
又因为 ，则 ，解得 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，过点 平行于直线 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
第16页/共23页
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知椭圆 ： （ ）的实轴长为 ，点 在 上.
（1）求 的离心率；
（2）若 ， 分别为 的左、右顶点，过点 且斜率不为0的直线与 交于 ， 两点，直线
， 交于点 ，证明：点 在定直线上；
（3）已知 ， ， 均在 上， 为原点， ，其中 ， 均不在 轴上， ，
且 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据长轴长可得 ，代入点 可得 ，进而可得离心率；
（2）设直线 ： ， ，与椭圆方程联立可得韦达定理，进而可得
第17页/共23页
学科网（北京）股份有限公司，联立直线方程可得 ，运算求解即可；
（3）设 ，根据题意结合向量运算可得 ，代入椭圆方程可得
，即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知： ，即 ，椭圆方程为 ，
代入点 可得 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率 .
【小问2详解】
由（1）可知椭圆 的方程为 ， ，
因为直线 的斜率不为0，且直线 与椭圆 必相交，
设直线 ： ， ，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ， ，可得 ，
第18页/共23页
学科网（北京）股份有限公司由题意可知：直线 ，直线 ，
联立方程消去y可得
，
即 ，可得 ，
所以点 在定直线 上.
【小问3详解】
设 ，且 ，
则 ，且 ， ，
可得 ，即 ，
代入椭圆方程可得 ，
整理可得 ，
又因为 ， ， ，
第19页/共23页
学科网（北京）股份有限公司可得 ，即 ，
且 ，可得 ，即 ，
所以 （为定值）.
19. 已知函数 （ ）.
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若 ，证明： ；
（3）试讨论过点 且与曲线 （ ）相切的直线的条数.
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）求导，分析可知 在 ， 上单调递增，参变分离结合恒成立问题运算求
解；
（2）构造函数 ，利用导数分析其单调性和最值，可得 ，即可证
明结论；
（3）求导，根据导数的几何意义分析过一点的切线，构造 ，可知切线的条数即
为 与 的交点个数，利用导数 的单调性和极值，结合图象分析求解即可.
【小问1详解】
因为 在 上连续不断，
第20页/共23页
学科网（北京）股份有限公司若 在 上单调递增，可知 在 ， 上单调递增，
若 ，则 ，且 ，
可得 ，即 在 上恒成立，
且 在 上的最小值为0，可得 ；
若 ，则 ，且 ，
可得 ，即 在 上恒成立，
且 在 上的最大值为 ，可得 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
若 ，则 ，
构造 ，则 ，
因为 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 上单调递增，在 内单调递减，
则 ，即 ，
且 ，可得 ，即 .
【小问3详解】
第21页/共23页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
若 ，则 ，且 ，
设切点坐标为 ， ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
代入点 可得 ，整理可得 ；
若 ，则 ，且 ，
设切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
代入点 可得 ，整理可得 ；
构造 ，可知切线的条数即为 与 的交点个数，
若 ，则 ，且 ，
可知 在 内单调递减，且当 趋近于1时， 趋近于 ，
当 趋近于 时， 趋近于 ；
若 ，则 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
且 ，当 趋近于1时， 趋近于5，当 趋近于 时， 趋近于 ；
据此可得函数 的图象，如图所示：
第22页/共23页
学科网（北京）股份有限公司由图象可得当 ，即 时， 与 有0个交点，即切线的条数为0；
当 或 ，即 或 时， 与 有1个交点，即切线的
条数为1；
当 或 或 ，即 或 或 时， 与 有2个交点，即切线的
条数为2；
当 ，即 时， 与 有3个交点，即切线 的条数为3.
综上可得，当 时，切线的条数为0；当 或 时，切线的条数为1；当 或
或 时，切线的条数为2；当 时，切线的条数为3.
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
