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海淀区 2021-2022 学年第二学期期中练习
高三数学
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用并集的定义可求 .
【详解】 ,
故选：B
2. 在复平面内，复数 对应的点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义可得复数 ，利用复数的乘法可求得结果.
【详解】由复数的几何意义可知 ，故 .
故选：A.
3. 双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 、 、 的值，可求得双曲线的离心率.【详解】在椭圆 中， ， ，则 ，
因此，双曲线 的离心率为 .
故选：C.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. 1 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式可求 的系数.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，故 的系数为 ，
故选：B.
5. 下列说法中正确的是
A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两个平面平行
C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行
【答案】B
【解析】
【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，
平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平
行错误，因为也可以相交，故选B.
6. 已知直线 是圆 的一条对称轴，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】【分析】圆心必然在直线l上，得到 的关系式，再考虑求最大值.
【详解】由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，
将圆的一般方程转变为标准方程： ，
圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ，
， ，
函数 是开口向下，以 为对称轴的抛物线，
所以 ，
故选：A.
7. 已知角 的终边绕原点 逆时针旋转 后与角 的终边重合，且 ，则 的取值可以
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得 ，列出余弦函数方程解出即可.
【详解】由于角 的终边绕原点 逆时针旋转 后与角 的终边重合，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
当 时， ，
故选：C.8. 已知二次函数 的图象如图所示，将其向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则不等式
的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数 与 的图象，数形结合可得出不等式 的解集.
【详解】根据图中信息作出函数 、 的图象如下图所示：
因为 ，则 ，且 ，
由图可知，不等式 的解集为 .
故选：C.
9. 在 中， ，则“ ”是“ 是钝角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】
【分析】先判断如果 能不能推出 是钝角三角形，
再判断如果 是钝角三角形，是否一定有 即可.
【详解】如果 ，由于B是三角形的内角，并且 , 则 ，
， 是钝角三角形，
所以 是充分条件；
如果 是钝角三角形，不妨设 ，则 ，
所以 不是必要条件；
故选：A.
10. 甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分
布如下表：
年龄（岁） 总计
确诊组人数 0 3 7 4 0 14
排除组人数 7 41 15 19 2 84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人.第二种：从排除组的84
人中随机抽取7人.用 分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列
四个结论：
① 在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
② 在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；③ 的取值范围都是 ；
④
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案
【详解】解：对于①： 人中确诊的有 人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在
确诊组，①错误；
对于②：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为 ，故②错误；
对于③：第一种 有96人， 有2人
第二种 有82人， 有2人
故设抽取80岁以上的人数为 ，则
当 时，
当 时，
当 时，
故③正确；
对于④： ， ，
， ，故④正确；
故选：B
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知抛物线 的准线方程为 ，则 等于________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线的准线方程求解.
【详解】因为抛物线 的准线方程为 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：2
【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12. 已知 是等比数列，且公比为 ， 为其前 项和，若 是 、 的等差中项， ，则
___________， ___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用已知条件可得出 ，化简可得 的值，再利用等比数列的求和公式可求得 的值.
【详解】由题意可得 ， ，则 ，
，解得 .故答案为： ； .
13. 若函数 的值域为 ，则实数 的一个取值可以为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】考察函数 的图像，
就是先把 向上或向下平移 个单位（取决于 的符号），
如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x轴为对称轴翻折上去，
最后再把整个图像向下平移一个单位.
【详解】如果 ， ，其值域为 ，
，不符合题意；
如果 ，当 时， ，
就是把函数 的部分 以x轴为对称轴翻折上去，
∴此时 的最小值为0， 的最小值为-1，值域为 ，
所以 ，不妨取 ；
故答案为：1.
14. 已知 是单位向量，且 ，设向量 ，当 时， ___________；
当 时， 的最小值为___________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】求出 ，根据夹角公式可得 ，将 表示为关于 的二次函数，求出最小值即可.
【详解】当 时， ， ，即 ，，
因为 ，所以 ；
当 时，
则 ，
当 时， 的最小值为 ，
故答案为： ， .
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：① 是偶函数；② 有无数个零点；③ 的
最小值为 ；④ 的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据偶函数定义、零点的定义，结合导数的性质逐一判断即可.
【详解】因为 ，所以该函数是偶函数，因此结论①正确；
令 ，所以结论②正确；
，因为 ， ，
所以函数的最小值不可能为 ，因此结论③不正确；
，当 时取等号，即 时取等号，因为 ，当且仅当 时取等号，所以有 ，当且仅当 时取等号，
所以有 ，当且仅当 时取等号，因此有 ，所以结论④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点睛：利用函数极值与最值的关系进行判断是解题的关键.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 设函数 .已知存在 使得 同时满足下列三个条件中的两个：条
件①： ；条件②： 的最大值为 ；条件③： 是 图象的一条对称轴.
（1）请写出 满足的两个条件，并说明理由；
（2）若 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）②③，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先分析①②可得 ，逐个验证条件③即可得结果；
（2）由（1）得函数的解析式，通过 的范围求出 的范围，结合正弦函数的性质列出关于 的不等
式即可得解.
【小问1详解】
函数 ，
其中 ，
对于条件①：若 ，则 ，对于条件②： 的最大值为 ，则 ，得 ，①②不能同时成立，
当 时， ，即不满足条件③；
当 时， ， ，即满足条件③；
当 时， ， ，即不满足条件③；
综上可得，存在 满足条件②③.
【小问2详解】
由（1）得 ，
当 时， ，
由于 在区间 上有且只有一个零点，
则 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
17. 如图，在四棱柱 中，底面 是正方形，平面 平面 ，
， .
（1）求证： ；（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得 平面 ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）取 的中点 ，连接 ，证明出 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、
的方向分别为 、 、 的正方向建立空间直角坐标系，设 ，其中 ，利用空间向量法可得出
关于 的方程，求出 的值，即可求得棱 的长.
【小问1详解】
证明：因为四边形 为正方形，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，所以， .
【小问2详解】
解：取 的中点 ，连接 ，
， 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，设 ，其中 ，则 、 、 、 、 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，
由题意可得 ，
，解得 ，则 .
18. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指 点到次日凌晨 点）.
相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚
睡群体睡眠指数的统计如下表：
组别 睡眠指数 早睡人群占比 晩睡人群占比注：早睡人群为 前入睡的人群，晚睡人群为 后入睡的人群.
（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数 分位数与晚睡人群睡眠指数 分位数分别在第几组？
（2）据统计，睡眠指数得分在区间 内的人群中，早睡人群约占 .从睡眠指数得分在区间
内的人群中随着抽取 人，以 表示这 人中属于早睡人群的人数，求 的分布列与数学期望
；
（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间 .试判断这种说法是否
正确，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）分布列答案见解析，
（3）这种说法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据百分位数的定义判断可得出结论；
（2）分析可知 ，利用二项分布可得出随机变量 分布列，利用二项分布的期望公式
的
可求得 的值；
（3）根据抽样数据与总体数据关系即可得出结论.
【小问1详解】
解：早睡人群睡眠指数 分位数估计在第 组，晚睡人群睡眠指数 分位数估计在第 组.
【
小问2详解】
解：由题意可知， ，随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，
， ，， ，
所以， 随机变量 的分布列如下表所示：
.
【小问3详解】
解：这种说法不正确，理由如下：
抽样数据可以反映整体数据，但是不是完全代表整体，故早睡的人群不一定落在 范围内.
19. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线的方程；
（2）若函数 在 处取得极大值，求 的取值范围；
（3）若函数 存在最小值，直接写出 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求导后求出切线的斜率 ，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；
（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；
（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.
【
小问1详解】
解：由题意得：，
故曲线 在点 处的切线的方程 .
【小问2详解】
由（1）得要使得 在 处取得极大值， 在 时应该 ， 在 时应该
，
故① 且 ，解得
② 且 ，解得
当 时， ，满足题意；
当 时， ，不满足题意；
综上： 的取值范围为 .
【小问3详解】
可以分三种情况讨论：① ② ③
若 ， 在 上单调递减，在 单调递增，在 上单调递减，无最小值；
若 时，当 时， 趋向 时， 趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得 ，故 处取得最小值,
故 的取值范围 .
若 时， 在 趋向 时， 趋向于0，又 故无最小值；
综上所述函数 存在最小值， 的取值范围 .
20. 已知椭圆 的下顶点 和右顶点 都在直线 上.
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）不经过点 的直线 交椭圆 于两点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，点 关于
点 的对称点为 .若 三点共线，求证：直线 经过定点.
【答案】（1） ，离心率为 .
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率；
（2）设 ，则可用此两点坐标表示 ，根据三点共线可得
在
，利用点 直线可得
，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可
得定点.
【小问1详解】
因为下顶点 和右顶点 都在直线 上，故 ，故椭圆方程为： .
其离心率为
【小问2详解】
设 ，则 .
则 ，故 ，
因为 三点共线，故 ，整理得到：
，
即 .
由 可得 ，
故 且 ，
故 ，
整理得到： ，
若 ，则 ，故 过 ，与题设矛盾；
若 ，则 ，故 过定点 .
21. 设 为正整数，若无穷数列 满足 ，则称 为 数列.
（1）数列 是否为 数列？说明理由；（2）已知 其中 为常数.若数列 为 数列，求 ；
（3）已知 数列 满足 ， ， ，求 .
【答案】（1）是 数列，理由见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】(1)根据 数列的性质判断即可；
(2)根据 数列的性质，求出 即可；
(3)根据 数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，
符合 的定义，故数列 是 数列；
【小问2详解】
依题意， ， ，
因为 是 数列， ，
①， ②,
由①②两式解得 .
【小问3详解】
∵ 是 数列， ， ，
①，， ②， ，
由①②得 又因为 ， ，所以 .同理解得
.
∴猜想 是等差数列，则 ，公差 ，所以数列通项公式为 .下
面再证明数列 为满足条件的唯一数列.
因为 ，则 ，假设存在 使得 不成立，且此时最小的 为 ，则
， ， ，因为 ，所以
，与假设想矛盾，
所以 ，恒成立，所以 .
下面证明数列 为 数列；
检验： ，∴是 数列；
，∴是 数列；
，∴是 数列，
并且 ，（ ），
∴ ， 符合题意，
故 .
