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北京市八一学校 2022 届高三数学一模模拟练习
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可.
【详解】设点 ，因为 ，所以 .
故选：C.
2. 设 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘法和复数相等可得出关于实数 的等式，即可解得实数 的值.
详解】 ，所以， ，解得 .
【
故选：A.
3. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知， ， ， ，
所以 .
故选：B
4. 已知F为抛物线 的焦点， 是该抛物线上的一点.若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦半径公式，直接求 的范围.
【详解】由条件可知 ，根据焦半径公式 ，解得： .
故选：B
5. 向量 ， ， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若 为与 同方向的单位向量，则
（ ）
A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知 ， ， ，
则 ，所以 .故选：D
6. 设曲线 是双曲线,则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】分析：由方程为 渐近线为 ，且渐近线方程为 的双曲线方程为
的
，即可得结果.
详解：若 的方程为 ，
则 ，渐近线方程为 ，
即为 ，充分性成立，
若渐近线方程为 ，则双曲线方程为 ，
“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的充分而不必要条件，故选A.
点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄
清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命
题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
7. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ， ， ，则 ．
其中真命题 的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】对于命题①，直线 可以相交和异面成 角，故是正确的；对于命题②，直线 也有可
能，故是错误的；对于命题③，由面面垂直的定义可知 ，故是正确的；对于命题④，面面垂直的定
义可知 ，故是正确的，应选答案C．
8. 已知实数 “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】当 时， ，
且 ，充分性成立；
当 时，未必有 ，
例如 时，此时 ，但不满足 .所以实数 “ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
9. 已知点P是直线l： 上的动点，过点P引圆C： 的两条切线
PM，PN，M，N为切点，当 的最大值为 时，则r的值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可．
【详解】结合题意，绘制图像，可知
当 取到最大值的时候，则 也取到最大值，而 ，当PC取到最小
值的时候， 取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故 ，
故 ，解得 ，故选D．
【点睛】考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难．
10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ （ ， ）是几位数”，他以 （ ）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：
（ ） N的位数
一位数
一位数
一位数
两位数
两位数
两位数
三位数
三位数
三位数
四位数
…… …… ……
试用该同学的研究结论判断 是几位数（参考数据 ， ）（ ）
A. 101 B. 50 C. 31 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ，得到 ，则 ，再由表中数据规律得
到结论.
【详解】∵ ，
∴ ，
则 ，
由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C.
【点睛】本题主要考查指数与对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
二､填空题，共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的展开式中 的系数是___________.
【答案】15
【解析】
【分析】求出展开式的通项，然后可得答案.
【详解】展开式的通项为 ，
令 可得 ，
所以 的展开式中 的系数是 ，
故答案为：15
12. 若数列 的前n项和 ， ，2，3，…，则满足 的n的最大值为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】由 求出 ，然后由解不等式 可得．
【详解】由已知 ，
时， ， 适合此式，
所以 ，由 得 ，即 共4项．
最大值为4．
故答案为：4．
13. 在 中， ，则 的面积为___________.【答案】
【解析】
【分析】运用余弦定理求出 ，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】由余弦定理可知：
或 （舍去），
所以 的面积为： ,
故答案为：
14. 已知函数 若关于x方程 有三个不相等 实数根，则实数a的取
的
值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数 的图象与直线 有三个交点得结论，转化为直线 与
的图象有两个交点，
【详解】作出函数 的图象，又直线 过定点 ，如图，当直线 与
的图象有两个交点时满足题意．需满足
由 得 ，
，则 有两个正根，， ，此时 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
15. 已知集合 ．由集合 中所有的点组成的图形如图
中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：
①“水滴”图形与 轴相交，最高点记为 ，则点 的坐标为 ；
②在集合 中任取一点 ，则 到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与 轴相交，最高点和最低点分别记为 ， ，则 ；
④白色“水滴”图形的面积是 ．
其中正确的有______．【答案】②④
【解析】
【分析】
①方程 中，令 求得 的取值范围，得出最高点的坐标；
②利用参数法求出点 到原点的距离 ，求出最大值；
③求出知最高点 与最低点 的距离 ；
④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．
【详解】对于①，方程 中，
令 ，得 ，
所以 ，其中 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ；
所以点 ，点 ，点 ，点 ，所以①错误；
对于②，由 ，设 ，
则点 到原点的距离为
，
当 时， ， 取得最大值为3，所以②正确；
对于③，由①知最高点为 ，最低点为 ，
所以 ，③不正确；
对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它 的面积是 ，
所以④正确；
综上知，正确的命题序号是②④．
故答案为：②④．
【点睛】关键点点睛：本题的关键，一是求出 四点坐标，正确判断①③，将方程写成圆的参数
方程形式，再利用两点间距离判断③，对于④，两个弓形，分别是以“水滴”与 轴的交点为圆心，半径
为2的圆所在的弓形.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期
；② 的图像可以由 的图像平移得到；③函数 的最大值为2；④
.
（1）请选出这三个条件并说明理由，再求出函数 的解析式；
（2）若曲线 的图像只有一个对称中心落在区间 内，求a的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）分析四个条件可知 只能同时满足①③④，进一步计算可得解析式；
（2）求得函数的对称中心，然后可得答案.
【小问1详解】
由题意知条件②： ，最大值为 ，与③矛盾，故②③不能同时成立，
则①④必满足，所以 ，所以 ，故排除②，
所以 同时满足①③④．
所以 ， ，
此时 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ；
【小问2详解】
令 ， ，
解得 ，所以 的对称中心是 ，
因为曲线 只有一个对称中心落在区间 ， 内，
所以 ，
所以 的取值范围是 ．17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 . 是等腰三角形，且 ；
在梯形 中， ， ， ， ， .
（1）求证： 面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）请问棱 上是否存在点Q到面 的距离为 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理
由.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3）棱 上存在点 到面 的距离为 ， .
【解析】
【分析】（1）由 即可得出 平面 ；
（2）建立空间坐标系，求出平面 和平面 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；
（3）设 ，用 表示点 到平面 距离，求解可得 的值．
【小问1详解】
证明： ， 平面 ， 平面 ，
平面 ．【小问2详解】
是直角梯形， ， ， ， ， ，
，又 ， 到 的距离为 ，
平面 平面 ， 到平面 的距离为2．
以 为原点，以 ， ，及平面 过 的垂线为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
，0， ， ，5， ， ，3， ， ，4， ，
，1， ， ，5， ， ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，平面 的法向量为 ， ， ，
则 ， ，
， ，
令 ， 可得 ，0， ， ， ， ，
．
由图形可知二面角 为锐二面角，二面角 的余弦值为 ．
【小问3详解】
假设棱 上存在点 到面 的距离为 ，设 ，2， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
点 到平面 的距离 ， ，
棱 上存在点 到面 的距离为 ， ．
18. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按 ，
， ， ， 分组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；
（2）现从年龄在 ， 的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进
行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在 的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，
其中有k名市民的年龄在 的概率为 （ ，1，2，…，20），当 最大时，写出k的值.（不用说明理由）
【答案】（1） ， ；
（2）分布列见解析，期望为 ；
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得 ，在频率分布直方图中求出频率为0.5对应的年
龄即为中位数；
（2）由频率分布直方图知抽取的8人中，年龄在 的有6人，在 的有2人， 的可能值是
，分别求出概率的分布列，由期望公式计算期望；
（3）用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在 的概率为 ，
则 ，由 可求得 值．
【小问1详解】
由题意 ， ，
年龄在 间的频率为 ，而 间的频率为 ，
设中位为 ，则 ， ．
所以年龄中位数为 ，
【小问2详解】
由频率分布直方图知，年龄在 ， 的人员比为 ，因此抽取的8人中，年龄在 的
有6人，在 的有2人，从这8人中抽取3人，X表示参与座谈的居民的年龄在 的人数，则的可能值是 ，
， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
；
【小问3详解】
用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在 的概率为 ，
则 ，
由 ，解得 ， ，所以 ，
所以 时， 最大．
19. 设函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与x轴平行，求 ；
（2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围；
（3）若 存在最小值，写出 的取值范围（不要求说明理由）.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）求出 ，然后由条件可得 ，即可得到答案；（2） ，然后分 、 、 或 三种情况讨论即可；
（3）结合 的单调性和函数值可得答案.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
因为曲线 在点 处的切线与x轴平行，
所以 ，结合 可得 ，
【小问2详解】
当 即 时，由 可得 或 ，由 可得
所以 在 处取得极小值，满足题意，
当 即 时， ，此时 无极值，不满足题意，
当 即 或 时，由 可得 或 ，由 可得
所以 在 处取得极大值，不满足题意，
综上：若 在 处取得极小值，则
【小问3详解】
当 时， 时 ， 无最小值，
当 时， 时 ，且为正，且 ，所以 无最小值，当 时， 在 上单调递增，无最小值，
当 时， 时 ，且为正，若 有最小值，则 ，解得 ，
所以 .
20. 已知椭圆 经过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是椭圆E上异于点P的两点，且以线段 为直径的圆恒过点P，判断直线 是否过定
点？如果是，求此定点坐标.如果不是，请说明理由.
【答案】（1） ；
（2）过定点，定点为 ， ．
【解析】
【分析】（1）由 可得 ，又由 在椭圆上可得 ，联立求解即可；
（2）设直线 的方程为： ，联立直线与椭圆方程得： ，
由以线段 为直径的圆恒过点 ，可得 ，可得 与 的关系，从而可得直线 过定点．
【小问1详解】
因为离心率 ，
所以 ，①
又因为点 在椭圆上 ，②由①②可得 ，
所以椭圆方程为： ；
【小问2详解】
设直线 的方程为： ，
由 可得： ，
，
所以 ；
设 ， ， ， ，则有： ， ．
所以 ，
；
又因为以线段 为直径的圆恒过点 ，
所以 ，
所以 ，
即 ， ， ，
所以 ，
整理化简得： ，所以 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ， ；
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，与 重合，舍去．
所以直线 过定点 ， ．
21. 若实数数列 满足 ，则称数列 为“ 数列”．
（1）若数列 是 数列，且 ，求 ， 的值；
（2）求证：若数列 是 数列，则 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）若数列 为 数列，且 中不含值为零的项，记 前 项中值为负数的项的个数为 ，
求 所有可能取值．
【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3） 的取值集合为 ．
【解析】
【分析】（1）由递推公式可得， ， ，再由 可得 ，
， ；
（2）此命题是否定性命题，可用反证法证明，即假设数列中各项全是正数（或全是负数），由递推公式
推出矛盾即可；
（3）这类问题的数列应该是有一定的规律，最简单的就是周期数列，首先由（2）可知 数列 中项既
有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数 满足
（ ）．设 ，则由递推公式计算，最后可知数列是周期为9的周期数列，由刚才的计算可知在 这9个数中有6个正数，3个负数，接着只要对
分别讨论（关键是 中有几个负数）．
【详解】（1）因为 是 数列，且 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，解得 ,
所以 ．
（2）假设 数列 的项都是正数，即 ，
所以 ， ，与假设矛盾．
故 数列 的项不可能全是正数,
假设 数列 的项都是负数，
则 而 ,与假设矛盾,
故 数列 的项不可能全是负数．
（3）由（2）可知 数列 中项既有负数也有正数，
且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．
因此存在最小的正整数 满足 （ ）．
设 ，则
．
,故有 , 即数列 是周期为9的数列
由上可知 这9项中 为负数， 这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项
都是正数．
因为 ,
所以当 时， ；
当 时， 这 项中至多有一项为负数，而且负数项只能是 ,
记 这 项中负数项的个数为 ，
当 时，若 则 ，故 为负数，
此时 ， ；
若 则 ，故 为负数．
此时 ， ，
当 时， 必须为负数， ， ,
综上可知 的取值集合为 ．
